Über Zerlegung von Rechtecken in Rechtecke. (Q1504285)

Wird ein Rechteck in Rechtecke zerlegt, so müssen, wie leicht ersichtlich, die Seiten der Teilrechtecke denen des großen Rechtecks parallel laufen. Die Richtungen der Seiten seien als \(x\)- und \(y\)-Richtung bezeichnet. Die Gesamtheit aller möglichen verschiedenen, d. h. inkongruenten Rechtecke bildet eine zweigliedrige Schar; man kann sie sich durch die Punkte einer \(xy\)-Ebene repräsentiert denken in der Art, daß\ durch Abszisse und Ordinate eines Punktes die Seitenlängen des entsprechenden Rechtecks angegeben werden. Eine eingliedrige Schar von Rechtecken wird dann durch die Punkte einer Kurve der \(xy\)-Ebene repräsentiert. Es bedarf jedoch hierbei einer Präzisierung des Kurvenbegriffs. Der Verf. führt hierzu die Bezeichnung ``gewöhnliche Kurve'' ein, worunter er eine Punktmenge der Ebene versteht, welche sich aus einer abzählbaren Anzahl von Punkten und ganz im Endlichen gelegenen Kurvenstücken \[ y=\varphi(x)\quad \text{oder}\quad x=\psi(y) \] zusammensetzt, wo \(\varphi\) und \(\psi\) stetige Funktionen sind, die einen stetigen monotonen ersten Differentialquotienten besitzen. Einer solchen Kurve also entspricht eine eingliedrige Schar von Rechtecken. Es gilt nun der wichtige Satz, daß\ aus einer eingliedrigen Schar von Rechtecken immer nur eine eingliedrige Schar von Rechtecken zusammengesetzt werden kann. Vielleicht noch interessanter als dieser allgemeine Satz, welcher am Schlusse der Arbeit bewiesen wird, ist die Betrachtung einiger besonderen eingliedrigen Rechtecksscharen, welche dem allgemeinen Problem vorangeschickt wird und dasselbe vorbereiten soll. So wird gezeigt, daß, wenn die Seiten eines jeden einzelnen Teilrechtecks in rationalem Verhältnis stehen, auch die Seiten aller Teilrechtecke untereinander und mit denen des zusammengesetzten Rechtecks in rationalem Verhältnis stehen müssen, daß\ ein Rechteck nur dann durch Hinzufügen von Quadraten zu einem Quadrat ergänzt werden kann, wenn seine Seiten kommensurabel sind, u. a. m.