Über die Fußpunktdreiecke. (Q1504307)

Das Dreieck, dessen Ecken die Fußpunkte der Höhen des gegebenen Dreiecks \(ABC\) sind, heißt das Fußpunktdreieck des Dreieck \(ABC\). Das Fußpunktdreieck dieses Fußpunktdreiecks heißt das zweite Fußpunktdreieck des Dreiecks \(ABC\). Allgemein wird unter dem \(n\)-ten Fußpunktdreieck des Dreiecks \(ABC\) das Fußpunktdreieck des \((n-1)\)-ten Fußpunktdreiecks verstanden. Der Verf. sucht und zählt nun alle diejenigen Dreiecke, die ihrem \(n\)-ten Fußpunktdreiecke ähnlich sind, wobei natürlich alle untereinander ähnlichen Dreiecke nur als eins gezählt werden. Die gesuchte Zahl ist \(\psi(n)=2^n \cdot (2^n-1)\). Für die Anzahl derjenigen Dreiecke, von deren Fußpunktdreiecken das \(n\)-te das erste ist, welches dem gegebenen ähnlich ist ergibt sich der Ausdruck: \[ \chi(n)=\psi(n)-\sum \psi \left( \frac{n}{p_1} \right) + \sum \psi \left( \frac{n}{p_1p_2} \right) - \cdots. \] Hierin bedeuten \(p_1,p_2,\dots,p_n\) die verschiedenen Primfaktoren von \(n\). Drei Tafeln am Schluß\ der Arbeit enthalten diejenigen Dreiecke, die ihren ersten, zweiten oder dritten Fußpunktdreiecken ähnlich sind.