Das räumliche Fünfeck. (Q1504482)

1. Die elementaren Eigenschaften des räumlichen Fünfecks \((P)\). 2. Die 12 Nullsysteme am räumlichen Fünfeck. Zu jedem einfachen Fünfeck gehört bekanntlich ein Nullsystem, welches die Seiten des Fünfecks zu Leitstrahlen hat. Den zwölf möglichen zyklischen Anordnungen der fünf Punkte entsprechen zwölf Nullsysteme. Dieselben ordnen sich in zwei Gruppen \(G'\) und \(G\) zu je sechs, wenn man diejenigen einfachen Fünfecke zusammenfaßt, welche durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus einander hervorgehen. Andrerseits kann man die zwölf Fünfecke in der Art paarweise anordnen, daß\ in jedem Paare die Seiten des einen Fünfecks im andern als Diagonalen auftreten und umgekehrt. Die beiden zugehörigen Nullsysteme liefern als gemeinsame Leitstrahlen eine Kongruenz mit zwei (wie später gezeigt wird) reellen Leitgeraden \(q\). Solcher Geraden hat man also 12. 3. Die Doppelsechs der Geraden \(q\). In diesem Abschnitt wird die Gruppe von 120 Kollineationen erörtert, welche die Ecken des Fünfecks \((P)\) mit einander vertauschen. Bei dieser Gruppe bleibt bekanntlich eine bestimmte imaginäre Fläche zweiter Ordnung invariant. Das zugehörige Polarsystem ist also mit den Operationen der Gruppe vertauschbar. Durch dasselbe wird das Fünfeck \((P)\) in ein Fünfflach \((\pi)\) übergeführt, jede Gerade \(q\) in eine Gerade \(q\). Die Geraden \(q\) bilden eine \textit{Schläfli}sche Doppelsechs spezieller Natur, welche mit \((P)\) und \((\pi)\) in einfachem Zusammenhange steht. 4. Die Spurpunkte der Geraden \(q\) in einer Ebene \(\delta_{ik}\). (Realität der Geraden \(q\).) 5. Die Fläche von \textit{Clebsch}. Bezeichnet man mit \(\pi_i\) \((i=1,\dots,5)\) die Flächen von \((\pi)\), mit \(E_{ik}\) den Schnittpunkt derjenigen Ebene \(\pi\), deren Zeiger von \(i\) und \(k\) verschieden sind, mit \({\mathfrak d}_{ik,lm}\) (\(i, k, l, m\) ungleich) die Verbindungsgerade von \(E_{ik}\) und \(E_{lm}\), so hat man 15 Geraden \(\mathfrak d\). Dieselben liegen auf einer Fläche dritter Ordnung, der Fläche von \textit{Clebsch}, die entsprechenden Diagonalen \(d\) von \((P)\) auf einer Fläche \(\varPhi\) dritter Klasse. 6. Die Gruppe der zwölf Diagonalflächen, in welche die Fläche \(\varPhi\) durch die zwölf Nullsysteme transformiert wird.