Projective coordinates. (Q1504525)

Um den in der projektivischen Geometrie angewandten Koordinaten eines Punktes \(x\) auch einen projektivischen Ursprung zu geben, definiert der Verf. dieselben als die drei Doppelverhältnisse \[ r_1=(x a_1| \alpha_i \alpha_0)\quad (i=1,2,3), \] durch welche der Punkt \(x\) in Beziehung steht zu drei in der Ebene gegebenen Geraden \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\), deren Punkte bezw. mit \(a_1, a_2 , a_3\) bezeichnet sind, und einer Hülfsgeraden \(\alpha_0\). Liegt \(\alpha_0\) im Unendlichen, so erhält man baryzentrische und, wenn außerdem das Fundamentaldreieck aus zwei Achsen und der ihre Einheitspunkte verbindenden Geraden gebildet wird, kartesische Koordinaten. Entsprechend werden die Linienkoordinaten definiert. Das Doppelverhältnis zweier Punkte und zweier Geraden \((xx'|\xi xi')\) führt sodann zu den Begriffen der ``symmetrischen'' (homogenen) Punkt- und Linienkoordinatensysteme. Jede homogene Gleichung zwischen den homogenen Koordinaten der Punkte \(x_1, \dots, x_4\) stellt eine zu den vier Geraden \(\xi_1,\dots,\xi_4\) kovariante Kurve dar. Weiterhin werden Kollineationen betrachtet; zum Schluß\ wird der \textit{Hun}sche Satz über die Dreiecke von \textit{Pasch} in einer neuen Form abgeleitet, aus der die Erweiterung des Satzes auf den \(R_n\) ersichtlich ist.