Volumen und Oberfläche. (Q1504620)

Ist \(\mathfrak M\) eine abgeschlossene Menge von Punkten, deren rechtwinklige Koordinaten \(x, y, z\) alle endlich sind, und die nicht alle in einer Ebene liegen, so hat der Ausdruck \(ux + vy + wz\) bei fest gewählten \(u, v, w\) für die Gesamtheit der Punkte von \(\mathfrak M\) ein Maximum, das \(H(u, v, w)\) heiße. Diese Funktion \(H\) besitzt die folgenden Eigenschaften: \[ {(1)}\quad H(0,0,0) = 0, \] \[ {(2)}\quad H(tu,tv,tw)=t H(u,v,w)\quad (t>0), \] \[ (3)\quad H(u_1+u_2,v_1+v_2,w_1+w_2) \leqq H(u_1,v_1,w_1)+H(u_2,v_2,w_2), \] \[ (4)\quad H(u,v,w)+H(-u,-v,-w)>0 \] außer für \(u=v=w=0\). Ist nun \(H(u, v, w)\) eine derartige reelle Funktion der reellen Größen \(u, v, w\), so nennt der Verf. den Bereich \(\mathfrak K\) aller Punkte \(x, y, z\), der bei ganz willkürlichen \(u, v, w\) durch: \[ ux+vy+wz \leqq H \] definiert ist, einen \textit{konvexen} Körper und \(H\) dessen \textit{Stützebenenfunktion.} Wird die Begrenzung des Körpers durch eine analytische Gleichung dargestellt, und besitzt sie überdies in jedem Punkt eine bestimmte Tangentenebene, die immer nur eine Berührung erster Ordnung eingeht, so heißt der Körper ein \textit{vollkommenes Ovaloid.} Jeder beliebige konvexe Körper läßt sich, wie der Verf. zeigt, als die Grenze einer unendlichen Reihe vollkommener Ovaloide darstellen. Mit Hülfe seiner Stützebenenfunktion \(H(u, v, w)\) läßt sich jedes vollkommene Ovaloid durch parallele Normalen auf die Kugelfläche vom Halbmesser 1 beziehen, und sein Volumen wird ein homogener Ausdruck dritten Grades in den Werten \(H(\alpha,\beta,\gamma)\), wo \(\alpha, \beta, \gamma\) einen beliebigen Punkt dieser Kugelfläche bezeichnet. Das Volumen eines beliebigen konvexen Körpers erhält man als Grenze der Volumina vollkommener Ovaloide. Sind \(H_1,\dots, H_m\) die Stützebenenfunktionen von \(m\) Ovaloiden \({\mathfrak K}_1,\dots,{\mathfrak K}_m\) und \(t_1,\dots, t_m\) alle \(\geqq 0\), so ist \(\sum t_k H_k\) wieder die Stützebenenfunktion eines Ovaloides, dessen Volumen durch einen Ausdruck von der Form: \(\sum V_{jkl} t_j t_k t_l\) dargestellt wird. Hier nennt der Verf. den Koeffizienten \(V_{jkl}\), der bei Vertauschung der Indizes ungeändert bleibt, das gemischte Volumen der drei Ovaloide \({\mathfrak K}_j,{\mathfrak K}_k,{\mathfrak K}_l\) und bezeichnet ihn mit \(V({\mathfrak K}_j,{\mathfrak K}_k,{\mathfrak K}_l)\). Ist \(\mathfrak K\) ein beliebiges Ovaloid und \(\mathfrak G\) die Kugel vom Halbmesser 1, so ist \(3V({\mathfrak G},{\mathfrak K},{\mathfrak K})\) die Oberfläche von \(\mathfrak K\) und \(3V({\mathfrak G},{\mathfrak G},{\mathfrak K})\) das Integral, das man erhält, wenn man jedes Oberflächenelement von \(\mathfrak K\) mit der mittleren Krümmung multipliziert. Durch Grenzübergang lassen sich diese Begriffe auf beliebige konvexe Körper übertragen. Die gemischten Volumina konvexer Körper bleiben bei beliebigen Translationen der Körper ungeändert, und es gilt für sie eine Reihe von Ungleichungen, ``die in dem Satze gipfeln, daß\ drei Körper vom Volumen 1 stets ein gemischtes Volumen \(\geqq 1\) ergeben''. Der Verf. beweist dieses, nachdem er zuvor die entsprechenden Begriffe und Ungleichungen für ebene Ovale abgeleitet hat, und es ergeben sich dabei die bekannten Sätze über den Kreis und über die Kugel (z. B. jeder konvexe Körper, der keine Kugel ist, hat eine größere Oberfläche als eine Kugel von demselben Volumen) als besondere Fälle dieser Ungleichungen. Sind \(\mathfrak K\) und \({\mathfrak K}'\) zwei beliebige konvexe Körper, so nennt der Verf. \(3V({\mathfrak K}',{\mathfrak K},{\mathfrak K})\) die Relativoberfläche des Körpers \(\mathfrak K\) in bezug auf \({\mathfrak K}'\). Für Ovaloide ist dieser Ausdruck gleich \(\int H'(\alpha, \beta, \gamma) \cdot F(\alpha, \beta, \gamma) d\omega\), wo \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\), \(d\omega\) das Flächenelement der Kugel vom Halbmesser 1 und \(F(\alpha,\beta,\gamma)\) das Produkt der Hauptkrümmungsradien in dem Punkt der Begrenzung von \(\mathfrak K\), dessen äußere Normale die Richtungskosinus \(\alpha,\beta,\gamma\) hat. Der Verf. nennt nun einen beliebigen konvexen Körper \(\mathfrak K\) stetig gekrümmt, wenn eine auf jener Kugelfläche überall stetige und positive Funktion \(F(\alpha, \beta, \gamma)\) existiert derart, daß\ seine Relativoberfläche in bezug auf jeden konvexen Körper \({\mathfrak K}'\) mit der Stützebenenfunktion \(H'\) immer \(=\int H'F d \omega\) ist, und \(F\) nennt er die Krümmungsfunktion von \(\mathfrak K\). Er zeigt, daß\ \(F\), wenn es existiert, einzig in seiner Art ist und den drei Bedingungen \(\int \alpha F d \omega= \int \beta F d \omega= \int \gamma F d \omega =0\) genügt, und daß\ umgekehrt jede Funktion \(F\) der betrachteten Art, die diesen Bedingungen genügt, die Krümmungsfunktion eines bis auf Translationen eindeutig bestimmten konvexen Körpers ist. Daß\ dieser Körper, wenn er existiert, eindeutig bestimmt ist, ergibt sich aus jenen Ungleichungen; seine Aufsuchung ist gleichbedeutend mit der Bestimmung der überall konvexen Integralflächen einer gewissen \textit{Monge}-Ampèreschen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zur Lösung dieser Aufgabe beweist der Verf. zunächst den schon früher von ihm veröffentlichten Satz, daß\ ein Polyeder durch die Richtungen der Normalen und durch den Inhalt seiner Seitenflächen bis auf eine Translation eindeutig bestimmt ist (vergl. F. d. M. \( 28\), 427, 1897, JFM 28.0427.01), und gewinnt daraus durch Grenzübergang den verlangten konvexen Körper. Diese eigentümliche Methode zur Integration jener partiellen Differentialgleichung ist sicher noch mancher weiteren Anwendungen fähig.