Sulle intersezioni delle varietà algebriche e sopra i loro caratteri e singolarità projettive. (Q1504767)

In einem hinterlassenen Fragment \textit{Caporalis,} welches nach seinem Tode unter dem Titel ``Sullo spazio di quattro dimensioni'' veröffentlicht wurde (Memorie di geometria, Napoli 1888), wie auch in einem interessanten, an \textit{Segre} gerichteten Briefe (vgl. F. d. M. \( 24\), 694, 1892, JFM 24.0694.03) sind die ersten Linien einer Verallgemeinerung der Theorie der algebraischen Flächen entworfen. Diese große und schöne Aufgabe, die der betrauerte Geometer für den vierdimensionalen Raum und unter anderen unnötigen Beschränkungen behandelt hat, stellte sich \textit{Severi} (vgl. auch F. d. M. \( 33\), 128-129, 1902, JFM 33.0128.01) und hat sie mit der vorliegenden Abhandlung nach verschiedenen Seiten erschöpft. Die Probleme, auf welche er seine Aufmerksamkeit gerichtet hat, sind die folgenden: ``Werden in einem \(r\)-dimensionalen linearen Raume \(S_r\) \(p\) Mannigfaltigkeiten \(V_{k_1}^{{(1)}},V_{k_2}^{{(2)}},\dots, V_{k_p}^{(p)}\) durch gewisse Charaktere definiert, so verlangt man: 1. die Charaktere der Mannigfaltigkeit \(M\) von \(\varSigma k_i-(p-1)r\). Dimensionen zu bestimmen, welche denselben im allgemeinen gemeinschaftlich ist; 2. im Falle, daß\ \(M\) sich in zwei Teile auflöse, die Charaktere des einen durch die des anderen auszudrücken; 3. im Falle, daß\ die gegebenen Mannigfaltigkeiten einen Teil \(V_h\) von der Dimension \(h > \varSigma k_i-(p-1)r\) gemeinschaftlich haben, deren Charaktere bekannt sind, die Charaktere, des übrigen Durchschnittes und den Schnitt desselben mit \(V_h\) zu bestimmen.'' Mit vollem Recht versuchte der Verf. und mit Geschick gelang es ihm, die verlangten Zahlen nun durch die Charaktere der einzelnen gegebenen Mannigfaltigkeiten auszudrücken. Um eine Idee des Planes und Umfanges dieser ausgezeichneten Arbeit zu geben, wollen wir das Inhaltsverzeichnis hersetzen. \(\S\) 1. Charaktere einer algebraischen Mannigfaltigkeit. \(\S\) 2. Einige projektive Singularitäten einer Mannigfaltigkeit. \(\S\) 3. Doppelpunkte, welche eine Mannigfaltigkeit auf einer zweiten besitzt, durch welche die erste gehen muß. \(\S\) 4. Eintauchungscharaktere einer in einer anderen enthaltenen Mannigfaltigkeit. \(\S\) 5. Charaktere einer Mannigfaltigkeit, welche der Vollschnitt zweier oder mehrerer anderen ist. \(\S\) 6. Anwendung auf einen besonderen Fall. \(\S\) 7. Die Klassen und die Ränge (ceti) der Eintauchung einer Mannigfaltigkeit in bezug auf eine andere. \(\S\) S. Beziehungen unter den Charakteren zweier Kurven, welche zusammen den Vollschnitt zweier Mannigfaltigkeiten bilden. \(\S\) 9. Beziehungen unter den Charakteren zweier Flächen, welche zusammen den Vollschnitt zweier Hyperflächen von \(S_4\) bilden. \(\S\) 10. Beziehungen unter den Charakteren zweier Flächen, welche zusammen den Vollschnitt von \(r-2\) Hyperflächen von \(S_r\) \((r>4)\) bilden. \(\S\) 11. Zahl der Punkte, in denen zwei Mannigfaltigkeiten sich schneiden, außer einer Kurve, welche gegebene Vielfachheiten in bezug auf beide besitzt. \(\S\) 12. Charaktere der Kurve, in der sich \(r-1\) Hyperflächen von \(S_r\) schneiden, außer einer \(M-h(h<\frac 12r)\), durch welche sie gehen. Zahl der Punkte, in denen sich \(r\) Hyperflächen schneiden, außer einer \(M_h\), durch welche alle gehen. \(\S\) 13. Zahl die Punkte, durch die \(r\) Hyperflächen von \(S_r\) geben, außer einer \(M_h\), einfach für einige und doppelt für die anderen ist.