Zur Klassifikation der quadratischen Formen, der Kurven und Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse. (Q1504976)

\textit{Koehler} (F. d. M. \(33\), 662, 1902, JFM 33.0662.01) hat bei Zugrundelegung beliebiger homogener Koordinaten Tabellen aufgestellt, die außer der vollständigen Klassifikation der Kurven und Flächen zweiten Grades auch die projektive Klassifikation für sich und eine metrische für sich nebst Kriterien erkennen lassen. Der Verf. fügt zwei Ergänzungen hinzu. Einmal wird gezeigt, daß nicht nur die Klassifikation der Gebilde zweiter Ordnung, sondern auch die der Gebilde zweiter Klasse analytisch durch die Klassifikation je zweier quadratischen Formen geleistet werden kann, deren eine die projektive, deren andere die weitere affine Klassifikation gibt. Diese zweite quadratische Form ist bei den Kurven einfach die zur gegebenen adjungierte Form, bei den Flächen stellt sie, gleich Null gesetzt, den Tangentenkomplex der Fläche dar. Die andere Ergänzung besteht in der Einführung einer von \textit{Sylvester} herrührenden ``charakteristischen Kriterienreihe'' in die analytische Geometrie. Um diese kurz darzulegen, so wird die quadratische Form \(f (xx)=\sum a_{ik} x_i x_k\) durch eine Substitution \[ x_i=\alpha_i \xi_1+\beta_i \xi_2+\cdots+ \nu_i \xi_n \] in die Form \(F(\alpha \alpha )\xi_1^2+2f(\alpha \beta)\xi_1 \xi_2+\cdots\) übergeführt. Sind die Bedingungen \(F(\alpha \beta)=0\) etc. erfüllt, so wird \(f(xx)=\sum \lambda_i \xi_i^2\). Mit Rücksicht auf das Trägheitsgesetz genügt irgend eine dieser Transformationen, um Rang und Signatur von \(f\) zu erkennen. Man kann nun insbesondere so vorgehen, daß man \(f_i(\alpha)=\lambda_1 \alpha_i\), \(f_i(\beta)=\lambda_2 \beta_i, \dots\) setzt und die \((\alpha, \beta, \dots\) den Relationen \(\sum \alpha_i^2=1\), \(\sum \beta_i^2=1, \dots\) unterwirft, dann lassen sich die \(\alpha, \beta, \dots\) im übrigen stets so bestimmen, daß die Beziehungen \(\sum \alpha_i \beta_i=0\) etc. von selbst erfüllt sind. Die \(\lambda_i\) erweisen sich als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung \(|a_{ik}-\lambda \varepsilon_{ik}|=0\). Das Ausfallen von Quadraten in der kanonischen Darstellung von \(f\) und das Vorzeichen der nicht ausfallenden Quadrate bestimmt sich durch die Wurzeln, resp. durch die Vorzeichen der Koeffizienten der charakteristischen Gleichung, d. h. durch die zu \(f\) gehörige ``charakteristische Reihe'' \(A, \varSigma A_{ii}, \varSigma A_{ii, kk}, \dots, \varSigma a_{ii},\) 1, wo die \(A_{ii}, A_{ii, kk}, \dots\) die Hauptunterdeterminanten erster, zweiter, \(\dots\) Stufe von \(A=|a_{ik}|\) bedeuten. So viele Glieder dieser Reihe im Anfange verschwinden, so viele \(\lambda\) sind Null; wird diese Zahl mit \(v (A)\) bezeichnet, so ist der Rang \(r\) von \(f\) gleich \(n-v(A)\). Da endlich die charakteristische Gleichung lauter reelle Wurzeln besitzt, so wird die Signatur \(S\) von \(F\) gleich \(\varSigma F-\varSigma W\), d.i. gleich der Anzahl der Zeichenfolgen in der charakteristischen Reihe, vermindert um die Zahl der Zeichenwechsel. Die projektive Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung \(f(x, x)=0\) wird somit sofort durch die Zahlen \(v(A)\) und \(S(A)\) ihrer Determinante \(A\) geliefert; deren affine Einteilung durch ihr Punktepaar im Unendlichen \(f(x_1, x_2, 0)=0\) mit der Determinante \(a_{33}\). Die projektive Einteilung der Kurven zweiter Klasse \(\varphi (u, u)=\sum \alpha_{ik} u_i u_k=0\) ist vollkommen entsprechend der der Kurven zweiter Ordnung. Die affine Einteilung hängt wiederum von ihrem unendlichen Punktepaar ab, d. i. bei \textit{Hesse}schen Koordinaten \(u\) von der quadratischen Gleichung \(a_{33} \varphi(u_1, u_2, 0)-\varphi_3^2 (u_1, u_2, 0)=0\), und deren Determinante tritt an die Stelle von \(a_{33}\). Analoges gilt für Flächen zweiter Ordnung und Klasse. Vier Tabellen veranschaulichen die in Rede stehenden Klassifikationen.