On groups in which every two conjugate operations are permutable. (Q1505001)

Verf. untersucht diejenigen abstrakten Gruppen, die durch eine endliche Anzahl erzeugender Elemente entstehen und die besondere Eigenschaft besitzen, daß zwei beliebige konjugierte Elemente der Gruppe stets miteinander vertauschbar sind. Wird die Gruppe keiner weiteren Bedingung unterworfen, so läßt sich jedes Element der Gruppe vermöge einer endlichen Anzahl von Basiselementen \(P_1, P_2, \dots, P_i\) ein und auch nur einmal in der Form: \[ P_1^{x_1} P_2^{x_2}\dots P_i^{x_i} \] darstellen; von den Exponenten \(x_1, x_2, \dots, x_i\) nimmt eine gewisse Anzahl alle Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) , die übrigen hingegen nur die Werte 0, 1, 2 an. Legt man der Gruppe die weitere Bedingung auf, endlich zu sein, so ist hierzu notwendig und hinreichend, daß die erzeugenden Elemente der Gruppe endlich sind. Die Gruppe ist dann das direkte Produkt von Gruppen von Primzahlpotenzordnung, und man kann sich infolgedessen im Falle endlicher Gruppen auf die Betrachtung von Gruppen von Primzahlpotenzordnung \(p^a\) beschränken, bei denen zwei beliebige konjugierte Gruppenelemente stets vertauschbar sind. Falls \(p\) eine ungerade Primzahl ist, haben diese Gruppen mit den \textit{Abel}schen folgende zwei Eigenschaften gemein: I. Die Gesamtheit der Gruppenelemente, deren Ordnung gleich oder kleiner als \(p^r\) ist, wobei \(r\) eine beliebige positive ganze Zahl ist, bildet eine Untergruppe. II. Durch Erheben aller Gruppenelemente in die Potenz \(p^r\) erhält man eine Untergruppe. Alle Gruppen, die nur durch eine endliche Anzahl von Elementen erzeugt werden und ausschließlich Elemente der Ordnung 3 besitzen, sind stets derartige Gruppen, bei denen zwei konjugierte Elemente der Gruppe vertauschbar sind. Mit der Untersuchung dieser speziellen, stets notwendig endlichen Gruppen hat sich Verf. schon früher in seinem Aufsatze ``On an unsettled question in the theory of discontinuous groups'' (Quart. J. \( 33\), 230-238; F. d. M. \(33\), 149, 1902, JFM 33.0149.01) beschäftigt.