Über die Reduzibilität der reellen Gruppen linearer homogener Substitutionen. (Q1505023)

Die Gruppen \(G\) linearer homogener Substitutionen \(S\) in \(n\) Variablen \(x\) zerfallen in zwei große Klassen, in die reduzibeln und die irreduzibeln. Der erstere Fall tritt ein, wenn man \(m<n\) lineare homogene Funktionen der \(x\) mit konstanten Koeffizienten finden kann die durch alle \(S\) von \(G\) nur unter sich transformiert werden. So z. B. ist jede Permutationsgruppe \(G\) reduzibel, da bei ihr die Summe der \(x\) invariant bleibt. Das Kriterium einer reduzibeln Gruppe \(G\) läßt sich auch dahin formulieren, daß eine Matrix \(P(\neq 0)\) \(n\)-ten Grades existiert derart daß die Matrizes aller \(S\) der ähnlichen Gruppe \(G=PGP^{-1}\) von der Form werden, daß die Elemente, die den ersten \(m\) Zeilen und \(n-m\) letzten Kolonnen angehören, sämtlich verschwinden. Die übrigen Elemente der ersten \(m\) Zeilen erzeugen eine mit \(\overline{G}\) isomorphe Gruppe \(\overline G_{11}\), desgleichen die Elemente der letzten \(n-m\) Zeilen und Kolonnen eine mit \(\overline{G}\) isomorphe Gruppe \(\overline G_{22}\). Wird endlich die Restmatrix mit \(\overline G_{21}\) bezeichnet, so kann \(\overline{G}\) kurz in der Gestalt \(\left|\begin{smallmatrix}\l\;& \l\\ \overline G_{11}& 0 \\ \overline G_{21}& \overline G_{22} \end{smallmatrix}\right|\) geschrieben werden. Durch wiederholte Einführung linearer homogener Funktionen der \(x\) läßt sich \(G\) durch eine Matrix \(R(\neq 0)\) in eine ähnliche \({\mathfrak A}=RGR^{-1}\) transformieren, daß für diese alle \({\mathfrak a}_{ki}\) \((k<i;\;k,i =1, 2, \dots,\lambda)\) verschwinden, wo \({\mathfrak a}_{ki}\) \((k \geqq i)\) eine Gesamtheit von Matrizes mit \(f_k\) Zeilen und \(f_i\) Kolonnen repräsentiert. Es läßt sich nach Obigem stets erreichen, daß die ``Teilgruppen'' \({\mathfrak a}_{ii}\) \((i=1,2,\dots,\lambda)\) alle irreduzibel werden; \(G\) ist dann ``unter Hervorhebung der irreduzibeln Bestandteile (Teilgruppen) \({\mathfrak a}_{ii}\) in eine ähnliche Gruppe transformiert worden''. Wie nun immer \(G\) in dieser Weise transformiert werden möge, so kann man die irreduzibeln Bestandteile zweier verschiedenen Darstellungen einander eineindeutig so zuordnen, daß zwei zugeordnete irreduzible Teilgruppen gleichviele Variablen haben und ähnliche Gruppen sind. Sieht man also ähnliche Gruppen als nicht verschieden an so sind die irreduzibeln Teilgruppen bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Der Satz gilt sicher für Gruppen in \(n=1\) Variabeln, es wird daher das Verfahren der vollständigen Induktion angewandt. Der nicht einfache Beweis stützt sich auf von \textit{Maschke} (F. d. M. \( 30\), 131, 1899, JFM 30.0131.01) angegebene Eigenschaften irreduzibler Gruppen linearer Substitutionen. Insbesondere wird der Satz für endliche Gruppen \(G\) von \(S\) verwertet. Nach \textit{Maschke} (l. c.) läßt sich, wenn man in der transformierten ähnlichen Gruppe eine geringere Anzahl von Variabeln absondern kann, die nur unter sich transformiert werden, die Gruppe noch weiter in eine zerfallende (zerlegbare) Gruppe transformieren. Durch wiederholte Anwendung des Satzes und mit Rücksicht auf das obige Theorem des Verf. läßt sich \(G\) in eine zerlegbare Gruppe transformieren, für die von allen \({\mathfrak a}_{ik}\) nur die \({\mathfrak a}_{ii}\) von Null verschieden sind, und, falls man ähnliche Gruppen als nicht verschieden ansieht, bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind, ein Ergebnis, das schon \textit{Frobenius} (F. d. M. \( 28\), 130, 1897, JFM 28.0130.01 \( 30\), 129, 1899, JFM 30.0129.01) auf anderem Wege gefunden hatte. Darüber hinauslassen sich in analoger Weise die vom Verf. (F. d. M. \( 31\), 130, 1900, JFM 31.0130.01) eingeführten Gruppen ``vom Typus einer endlichen Gruppe'' behandeln. In der zweiten Arbeit werden insbesondere Gruppen \(G\) mit reellen Koeffizienten betrachtet. Eine solche Gruppe \(G\) heißt reell irreduzibel, wenn es keine Matrix \(P(\neq 0)\) gibt, daß die Matrizes aller \(S\) der Gruppe \(\overline{G} =PGP^{-1}\) von der Form \(\left|\begin{smallmatrix}\l\;& \l\\ \overline{G}_{11} & 0 \\ \overline{G}_{21} & \overline G_{22}\end{smallmatrix}\right|\) werden und ausschließlich nur reelle Koeffizienten haben. Eine reell irreduzible Gruppe \(G\) ist entweder schlechtweg (absolut) irreduzibel, oder aber sie ist einer zerlegbaren Gruppe 1 \(\left|\begin{smallmatrix} \l\;& \l\\ G_{11} & 0 \\ 0 & G_1^0 \end{smallmatrix}\right|\) ähnlich, wo \(G_{11}\) und \(G_{11}^0\) zwei absolut irreduzible Gruppen in gleichviel Variabeln mit nicht ausschließlich reellen Substitutionskoeffizienten sind, die auseinander hervorgehen, indem man die Koeffizienten einer von beiden durch ihre konjugiert imaginären Werte ersetzt. Kennt man daher alle absolut irreduzibeln Gruppen, so lassen sich auch alle reell irreduzibeln auffinden. Überdies wird über die irreduzibeln Bestandteile einer reellen Gruppe linearer homogener \(S\) Aufschluß gegeben. Im besonderen ist jede reell irreduzible Gruppe reeller \(S\) mit einer ungeraden Variabelnzahl stets absolut irreduzibel.