Non-Abelian groups in which every subgroup is Abelian. (Q1505030)

Von den in der Überschrift genannten Gruppen beweisen die Verf., daß sie stets auflösbar sind und ihre Ordnung nicht durch mehr als zwei verschiedene Primzahlen teilbar ist. ``Die fraglichen Gruppen besitzen, wenn sie die Ordnung \(p^{\alpha}q^{\beta}(\alpha, \beta>0)\) haben, nur eine einzige Untergruppe der Ordnung \(q^{\beta}\) und \(q^{\beta}\) Untergruppen der Ordnung \(p^{\alpha}\). Die Untergruppen der Ordnung \(p^{\alpha}\) sind dann zyklisch, hingegen besitzt die Untergruppe der Ordnung \(q^{\beta}\) keine Elemente höherer als \(q\)-ter Ordnung. Ist eine nicht kommutative Gruppe, in der jede Untergruppe \textit{Abel}sch ist, von Primzahlpotenzordnung \(p^{\alpha}\), so enthält sie \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p^{\alpha-1}\), und keine dieser Untergruppen hat mehr als drei Invarianten. Sind drei Invarianten vorhanden, so ist wenigstens eine von der Ordnung \(p\).''