On the \textit{Mathieu} system of triply transitive groups. (Q1505032)

Nach \textit{Mathieu} existiert ein zweifach unendliches System dreifach transitiver Permutationsgruppen der Grade \(p^n+1\) und der Ordnungen \(p^n(p^{2n}-1)\) wobei \(p\) eine Primzahl ist und \(n\) eine beliebige, von Null verschiedene ganze positive Zahl bedeutet. Die Gruppen des Systems sind durch \(z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\,(\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0)\) bestimmt, wobei \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) einem \textit{Galois}schen Feld \(GF[p^n]\) angehören. Jede der eben beschriebenen dreifach transitiven Permutationsgruppen enthält eine zweifach transitive Gruppe \(G_1\) der Ordnung \(p^n(p^n-1)\) mit \(p^n\) konjugierten zyklischen Untergruppen der Ordnungen \(p^n-1\) zur Untergruppe. Bedeutet \(G\) irgend eine Permutationsgruppe des Grades \(p^n+1\), die die Gruppe \(G_1\) enthält, so zeigt Verf., daß durch Angabe von \(G_1\) die Gruppe \(G\) völlig eindeutig bestimmt ist. Als Spezialfall ergibt sich für \(n=1\) der Satz von \textit{Frobenius} (Berl. Ber. 1902, 359; F. d. M. \(33\), 144, 1902, JFM 33.0144.01): Es gibt nicht mehr als eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(p+1\) und der Ordnung \(p(p^2-1).\)