On the order of linear homogeneous groups. (Q1505038)

Im Mittelpunkt der vorliegenden, für die Theorie der endlichen Gruppen linearer homogener Substitutionen beachtenswerten Arbeit steht der Fundamentalsatz: In jeder endlichen Gruppe linearer homogener Substitutionen in \(n\) Variabeln bilden diejenigen Substitutionen, deren Ordnungen nur durch Primzahlen, von denen jede größer als \(\tau_n=(n-1) (2n+1)\) ist, teilbar sind, eine Untergruppe \(G_1\). Für den Beweis ist die Betrachtung der Spuren der Substitutionen, d. h. der Summen der Glieder der Hauptdiagonalen, denen ja auch in \textit{Frobenius}' Theorie der Gruppencharaktere eine wesentliche Rolle zufällt wichtig. Die Gruppe \(G_1\) ist offenbar in \(G\) invariant; sie ist ferner eine Gruppe, die nur aus vertauschbaren Substitutionen besteht. Verf. beweist nämlich allgemein: Eine jede endliche Gruppe linearer homogener Substitutionen in \(n\) Variablen, deren Ordnungszahl nur durch Primzahlen, von denen jede größer als \(n\) ist, teilbar ist, muß eine kommutative Gruppe sein. Die Gruppen linearer homogener Substitutionen lassen sich in reduzible und irreduzible einteilen. Eine irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen heißt primitiv, wenn man niemals durch Einführung neuer Variablen, die lineare homogene Kombinationen der alten mit konstanten Koeffizienten sind, erreichen kann, daß die Variablen nach der Transformation in Systeme zerfallen und die Variablen eines Systems sich nur in lineare Funktionen der Variablen des gleichen oder eines anderen Systems transformieren. Eine irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen, die nicht primitiv ist, heißt imprimitiv. Verf. beweist: Wenn eine endliche Gruppe \(G\) eine invariante Untergruppe \(G_1\) besitzt, die kommutativ ist, und deren Substitutionen nicht ausnahmslos Ähnlichkeitssubstitutionen, d. h. solche der Form \(x_i'=\alpha x_i\) \((i=1, 2, \dots, n)\), sind, so ist die Gruppe \(G\) reduzibel oder imprimitiv. Jede endliche Gruppe \(G\) in \(n\) Variablen, deren lineare homogene Substitutionen ausnahmslos die Determinante \(+1\) haben, kann von Ähnlichkeitssubstitutionen nur solche \(n\)-ter oder niedrigerer Ordnung enthalten. Hieraus folgt nach den obigen Sätzen: Die Ordnungszahl jeder endlichen primitiven Gruppe \(G\) linearer homogener Substitutionen der Determinante \(+1\) in \(n\) Variablen ist durch keine Primzahl, die größer als \(\tau_n=(n-1)(2n+1)\) ist, teilbar. Die in dem Satze angegebene Grenze \(\tau_n\) ist aber im allgemeinen noch zu hoch und läßt sich, wie Verf. zeigt, durch Betrachtung von Kongruenzen weiter herabdrücken. Hierdurch ergibt sich, daß die Ordnungszahlen der primitiven endlichen Gruppen linearer homogener Substitutionen der Determinante \(+1\) in 3, 4, 5, 6 Variablen durch keine größeren Primzahlen als 7, bezw. 13, 19, 23 teilbar sein können.