Bemerkungen zur Determinantentheorie. (Q1505056)

\textit{Weierstraß} hat bewiesen, daß eine Funktion der \(n^2\) Größen \(a_{ik}\) \((i,k=1, 2, \dots, n)\) durch die beiden Eigenschaften, erstens eine ganze lineare homogene Funktion der Elemente jeder Zeile zu sein, und zweitens bei Vertauschung zweier Zeilen miteinander das Vorzeichen zu wechseln, bis auf einen konstanten Faktor die Determinante \(|a_{ik}|\) darstellt. Der Verf. betrachtet an Stelle des quadratischen Systems der \(a_{ik}\) eine rechteckige Matrix und untersucht die Funktionen der \(mn\) Größen \(a_{rs}\) \((r=1, 2, \dots, m;\;s=1, 2, \dots, n)\), welche die analogen Eigenschaften haben. Es ergibt sich das interessante Resultat: Eine Funktion der \(mn\) Elemente, welche in bezug auf ihre Zeilen und Kolonnen die beiden genannten Eigenschaften besitzt, ist gleich Null, es sei denn, daß \(m=n\) ist; in diesem Falle ist die mit einer Konstante multiplizierte Determinante \(|a_{ik}|\) die einzige Funktion dieser Art. Dieser Satz wird dann noch zur Begründung einiger Fundamentaltheoreme der Determinantentheorie benutzt.