Alcune proprietà delle funzioni simmetriche caratteristiche. (Q1505081)

Bedeuten \(h_0, h_1, \dots, h_s\) positive ganze Zahlen inkl. 0, so bezeichne man mit \(\{h_0 h_1,\dots h_s \}^{(x)}\) die bez. der \(x_0, x_1, \dots, x_s\) symmetrische Funktion \(|x_i^{h_k}|:X\), \((i,k=0, 1, \dots, s)\), wo der Nenner \(X\) die \textit{Vandermonde}sche Potenzdeterminante ist, die aus der allgemeineren \(|x_i^{h_k}|\) für \(h_0=0, h_1=1, \dots, h_s=s\) hervorgeht. Ist \(0\leqq h_0 < h_1 < \dots < h_{s-1} < h_s\), so heißt die symmetrische Funktion \(\{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\) eine ``charakteristische''. Spezielle Fälle sind die Fundamentalfunktion \[ \begin{aligned} S_i^{(x)} & =\varSigma x_0 x_1\dots x_{i-1}\quad (i=0, 1, \dots, s+1)\\ & =\{0, 1, \dots, s-i, s-i+2, \dots, s+1\}^{(x)}, \end{aligned} \] und die \textit{Wronski}sche Alephfunktion vom Grade \(i\) in den \(x\): \[ V_i^{(x)}=\{0, 1, \dots, s-1, s+i\}^{(x)}\;(i=0, 1, 2, \dots). \] Das Summenzeichen \(\sum_{(r;p;l)}{}_i\) erstrecke sich auf gewisse Indizes \[ i_l, i_{l+1}, \dots, i_p\;(p \geqq l), \] die nur der Werte 0, 1 fähig sind, und deren Summe \(r\) beträgt. Dann geht aus der Definition von \(\{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\) sofort die Formel hervor: \[ {(1)}\quad \{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\cdot S_r^{(x)} =\sum_{(r;s;o)}{}_i \{h_0+i_0, h_1+i_1, \dots, h_s+i_s\}. \] Ersetzt man in einer ganzen Funktion \(\varphi(x)\) der \(x\) jeden Term \(x_0^{c_0} x_1^{c_1}\dots x_s^{c_s}\) durch \(\{h_0+c_0, h_1+c_1, \dots, h_s+c_s\}^{(x)}\), so möge das Ergebnis durch \(\varphi^{(x)}\varDelta\{h_0, h_1, \dots, h_s\}\) angegeben werden. Dann schreibt sich {(1)} kürzer in der Gestalt: \[ {(1)}\quad \{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\cdot S_r^{(x)}= S_r^{(x)}\;\varDelta \{h_0, h_1, \dots, h_s\}. \] Dieser symbolischen Gleichung genügt indessen nicht nur die Funktion \(S_r^{(x)}\), sondern überhaupt \textit{jede} symmetrische ganze Funktion \(\varphi^{(x)}\) der \(x\) von irgend einem Grade \(d\). Im besonderen fließt dann aus jener Gleichung für \(h_i=i\) die andere: \[ {(2)}\qquad \varphi^{(x)}=\varphi^{(x)}\varDelta \{0, 1, \dots, s\}, \] d. h. \(\varphi(x)\) läßt sich linear durch die charakteristischen Funktionen des Grades \(d\) ausdrücken (s. auch das Referat über \textit{Roe}, S. 200, JFM 34.0200.01). Der Gleichung {(1)} genügt also auch die Alephfunktion \(V_r^{(x)}\). Daraus läßt sich folgern, daß \(V_r^{(x)}\) auch die Darstellung: \[ (3) \qquad \{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}.V_r^{(x)}=\sum_{(r;s)}^{(h)}{}_i \{h_0+i_0,\;h_1+i_1, \dots, h_s+i_s\}^{(x)} \] gestattet, die sich in eine entsprechende Relation zwischen den charakteristischen Funktionen und den \(S_i^{(x)}\) überführen läßt. Es wird nun in die Theorie der charakteristischen Funktionen das wichtige Prinzip der Dualität eingeführt. Der Reihe der Zahlen \(h_0, h_1, \dots, h_s\), wo noch \(h_s\leqq s+t+1\), entspricht als \(t\)-te duale Gruppe eine ebensolche von Zahlen \(k_0, k_1, \dots, k_t\), so daß die Reihe der Zahlen \[ k_0, k_1, \dots, k_t, s + t + 1 - h_0, s + t + 1 - h_1, \dots, s + t + 1 - h_s \] eine Permutation der Zahlen \(0, 1, \dots, s + t + 1\) darstellt. Die Beziehung der beiden Gruppen ist eine gegenseitige. Für zwei solche duale Gruppen gilt aber die Formel: \[ (4)\qquad \{s; k_0, k_1, \dots k_t\}^{(x)}\cdot V_r^{(x)}=\sum_{(r;t;o)} {}_i\{s; k_0+i_0, k_1+i_1, \dots, k_t+i_t\}^{(x)}, \] wo das Symbol \(\{s; k_0, k_1,\dots, k_t\}^{(x)}\) mit \(\{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\) zusammenfällt. Das Prinzip der Dualität spricht sich dann folgendermaßen aus: Für \(t \leqq s\), \(i=1, 2, \dots, t+1\) verwandeln die Relationen \(S_i^{(x)}=V_i^{(y)}\), vermöge deren die \(y_0, y_1, \dots, y_t\) durch die \(x_0, x_1, \dots, x_s\) ausgedrückt werden, jede charakteristische Funktion \(\{h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(x)}\) der \(x\), für die \[ h_0 + h_1 +\cdots + h_s \leqq \frac{s(s+1)} {2} + t + 1, \] in eine charakteristische Funktion \(\{t; h_0, h_1, \dots, h_s\}^{(y)}\) der \(y\). Auf Grund dieses Prinzipes lassen sich die \(V_h^{(x)}, S_h^{(x)}\) nach Potenzen der \(S_1^{(x)}, S_2^{(x)}, \dots, S_{s+1}^{(x)}\), resp. der \(V_1^{(x)}, V_2^{(x)}, \dots, V_{s+1}^{(x)}\) entwickeln, so daß die Zahlenkoeffizienten Polynomialkoeffizienten sind. Ferner läßt sich eine charakteristische Funktion sowohl als Determinante der \(V\) wie der \(S\) darstellen. Die erstere dieser beiden Darstellungen rührt schon von \textit{Trudi} (1864) her, die letztere ist ihr duales Analogon. Des weiteren wird dargelegt, wie das obige Prinzip der Dualität in der abzählenden Geometrie eine grundlegende Rolle spielt und sich daselbst mit einem von \textit{Schubert} eingeführten inhaltlich deckt und umgekehrt als dessen Beweisgrund dient.