Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes. (Q1505169)

Wenn \(\pi(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leqq x\) bezeichnet und \(Li(x)\) den Integrallogarithmus von \(x\), so ist bekanntlich \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\pi(x)}{Li(x)} =1. \] Dieser wichtige, schon von \textit{Gauß} vermutete Satz ist zuerst von \textit{de la Vallée Poussin} im Jahre 1896 bewiesen worden, auf Grund der vorangegangenen \textit{Hadamard}schen Untersuchungen über ganze transzendente Funktionen und die \textit{Riemann}sche Zetafunktion. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit gibt Verf. für den Satz einen Beweis an, welcher sich nur der klassischen funktionentheoretischen Mittel bedient. Der Kern des Beweises liegt darin, daß es möglich ist, die Behandlung eines gewissen komplexen Integrals mit dem Integranden \(\frac{x^s}{s^2}\, \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\) selbst ohne Kenntnis vom Vorhandensein der komplexen Nullstellen der Zetafunktion durchzuführen. Die Partialbruchzerlegung von \(\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\) kann dabei nicht angewendet werden; aber die Auffindung einer gewissen oberen Schranke für \(\left| \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \right|\) führt eben schon zum Ziel. Zugleich mit dem obigen ``Primzahlsatz'' ergibt sich ein neuer und vereinfachter Beweis für den zuerst von \textit{de la Vallée Poussin} (vergl. F. d. M. \( 30\), 193-194, 1899, JFM 30.0193.01 u. JFM 30.0193.02) bewiesenen Satz: Der Integrallogarithmus stellt die Primzahlmenge genauer dar als alle seine Näherungswerte in endlicher Form. Die neue Methode kürzt nicht nur den Weg zu dem ``Primzahlsatz'' wesentlich ab, sondern sie liefert für den analogen ``Primidealsatz'' in der Theorie der algebraischen Zahlkörper überhaupt zum ersten Male einen Beweis. Verf. führt dies im zweiten Teil der Arbeit aus und benutzt dabei einige früher (vergl. F. d. M. \( 33\), 215-216, 1902, JFM 33.0215.01) von ihm bewiesenen Sätze über die verallgemeinerte Zetafunktion \(\zeta_\kappa(s)\). Das Resultat lautet, wenn \(\pi_\kappa (x)\) die Anzahl der Primideale eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers bezeichnet, deren Norm \(\leqq x\) ist: \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\pi_\kappa(x)}{Li(x)}=1 \] und noch genauer \[ \pi_\kappa(x)=Li(x)+O \left( xe^{{}^{-1} \root3\of{\log x}}\right). \] Daraus folgt insbesondere, daß für zwei algebraische Zahlkörper \(\kappa_1\) und \(\kappa_2\) \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\pi_{\kappa_1}(x) }{ \pi_{\kappa_2}(x) }=1 \] ist.