Theorie der hyperkomplexen Größen I. II. (Q1505194)

Der Verf. nimmt in dieser Abhandlung die Untersuchungen \textit{Molien}s über Systeme höherer komplexer Zahlen (Math. Ann. \( 41\) u. \( 42\); F. d. M. 24, 347, 1892, JFM 24.0347.01 u. \( 25\), 660, 1893-1594, JFM 25.0660.02) wieder auf und wendet auf sie die Methoden seiner Arbeit über die Primfaktoren der Gruppendeterminante an (Berl. Ber. 1896; F. d. M. \( 27\), 94, 1896,JFM 27.0094.01), die sich von endlichen auf die hier betrachteten Gruppen übertragen lassen. Diese Gruppen sind solche Systeme von komplexen Zahlen \[ x=\varepsilon_1 x_1+\varepsilon_2 x_2 + \cdots + \varepsilon_n x_n, \] für welche das Produkt zweier Zahlen wieder dem Systeme angehört und das Produkt je dreier dem assoziativen Gesetze gehorcht. Ist alsdann \[ \varepsilon_\beta \varepsilon_\gamma = \sum_\alpha a_{\alpha\beta \gamma} \varepsilon_\alpha, \] so genügen die Koeffizienten den Gleichungen: \[ \sum_\kappa a_{\kappa \alpha \beta} a_{\gamma \kappa \delta} = \sum_\kappa a_{\kappa \beta \delta} a_{\gamma \alpha \kappa}. \] Zu ihrer Untersuchung werden außer den auch schon früher benutzten Matrizen, der Gruppenmatrix: \[ S(x)=\left(\sum_\lambda a_{\alpha \lambda \beta} x_\lambda\right) \] und der antistrophen Gruppenmatrix \[ T(x)=\left(\sum_\lambda a_{\alpha \beta \lambda} x_\lambda\right), \] hier noch eine dritte, die parastrophe Matrix \[ R(\xi)=\left(\sum_\kappa a_{\kappa \alpha \beta} \xi_\kappa\right) \] und ihre Determinanten herangezogen. Die Exponenten und Grade der Elementarteiler dieser letzten Matrix erweisen sich als die zur Einleitung der Gruppen geeignetsten Elemente. Es ergibt sich, daß die in den verschiedenen Primfaktoren der Gruppendeterminante \(|S(x)|\) auftretenden Variabeln alle voneinander unabhängig sind. Als invariante Untergruppe wird nun ein Teilsystem komplexer Zahlen bezeichnet, welches die Eigenschaft hat, daß jedes Produkt aus einem Element der Untergruppe und einem der Obergruppe wieder der Untergruppe angehört; ist nun die Gruppe einfach, d. h. besitzt sie keine invariante Untergruppe, so sind die Elementarteiler ihrer Gruppendeterminante alle linear. Diese beiden Sätze bilden das Fundament der Entwicklung. Im zweiten Teile der ersten Arbeit und in der zweiten Abhandlung untersucht der Verf. im besonderen diejenigen Gruppen, die er als \textit{Dedekind}sche Gruppen bezeichnet. Sie sind dadurch charakterisiert, daß die symmetrische Determinante \[ |p_{\alpha \beta}| = \left|\sum_{\kappa \lambda} a_{\kappa \alpha \lambda} a_{\lambda \beta \kappa}\right| \] von Null verschieden ist, und ihre Bedeutung beruht darauf, daß jede Gruppe \((\kappa)\) mit Haupteinheit einer \textit{Dedekind}schen Gruppe \((\vartheta)\) homomorph ist, deren Determinante durch jeden Primfaktor der ganzen Gruppe teilbar ist. Ist nun \((\eta)\) die größte invariante Untergruppe von \((\varepsilon)\), welche aus lauter Wurzeln der Null besteht, so ist \((\vartheta)\) mit der Gruppe \((\varepsilon)\) identisch, falls man darin je zwei Größen als gleich betrachtet, deren Differenz in der Gruppe \((\eta)\), dem ``Radikal von \(\varepsilon\)'' enthalten ist. Es wird nun der von \textit{Cartan} (Ann. de Toulouse, t. XII; F. d. M. \( 29\), 97, 1898, JFM 29.0097.03) aufgestellte Satz bewiesen: Jede Gruppe mit Haupteinheit ist die Summe ihres Radikals und einer \textit{Dedekind}schen Gruppe, deren Determinante durch jeden Primfaktor der Determinante der ganzen Gruppe teilbar ist. Dabei wird eine Gruppe als Summe zweier Untergruppen bezeichnet, wenn ihre Grundzahlen \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\) durch Zusammenfassung der Grundzahlen der Untergruppen erhalten werden.