Contribution à l'analyse arithmétique du continu. (Q1505195)

Die Arbeit untersucht die Annäherung, welche beliebige Irrationalitäten durch rationale Zahlen erfahren können, und stellt in ihrem ersten Teile den Satz auf: Man kann stets a priori eine unendliche Menge von Intervallen \((A_n,B_n)\) so bestimmen, daß \(A_n,B_n\) unbegrenzt wachsen und für eine beliebige irrationale Zahl \(\alpha\) zwischen 0 und 1 ganze Zahlen \(p_n, q_n\) existieren, welche den Ungleichungen \[ \left| \frac{p_n}{q_n} - \alpha \right| < \frac{1}{q_n^2 \sqrt 5}\,,\quad A_n<q_n<B_n \] genügen. Man braucht nämlich nur \(A_n>10\), \(B_n>15\) \(A_n^2\) anzunehmen. Ähnliche Sätze lassen sich alsdann auch für mehrdimensionale Punktmengen aufstellen, z. B. der folgende: Wenn man die Gesamtheit der Systeme von \(n\) Brüchen gleichen Nenners betrachtet: \[ \frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q},\dots,\frac{p_n}{q},\quad (q=1,2,3,\dots)\quad 0 \leqq p_i \leqq q, \] so kann man dieselbe in eine unendliche Menge von Klassen zerlegen, die immer nur eine endliche Zahl von Systemen enthalten und die Eigenschaft haben, daß zu irgend \(n\) Zahlen \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) zwischen Null und Eins in jeder Klasse ein System gefunden werden kann, das den Ungleichungen genügt: \[ \left|\frac{p_i}{q} - \alpha_i \right| < \frac{n}{n+1}\;\frac{1}{q^{\frac{n+1}{2}}} \quad (i=1,2,\dots,n). \]