Theory of cubic forms. (Q1505206)

Der Verf. betrachtet die Frage betreffs der (eigentlichen) Äquivalenz der kubischen binären Formen \[ (a \cdot b \cdot c \cdot d) \equiv ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3. \] Die Substitutionen \(\alpha \cdot \beta \choose \gamma \cdot \delta\) sind für \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) und ihre Invariante \[ (A \cdot B \cdot C)\equiv Ax^2+2Bxy+Cy^2 \] dieselben; es wird also jede \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) durch eine Aufeinanderfolge der Substitutionen \(\;0 \cdot 1 \choose -1 \cdot \delta\) in eine der reduzierten Formen transformiert. Wird die Determinante \(D\) von \((A \cdot B \cdot C)\) negativ, so ist die Klassenanzahl endlich. Für \(D > 0\) gilt der Satz: ``Sobald die Invariante \((A \cdot B \cdot C)\) nach Durchlaufung der ganzen Periode der Klasse den anfänglichen Wert annimmt, geht die kubische Form \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) in eine andere über, für welche die Potenz der Lösung der Gleichung \[ Ac^2-2Bbc+Cb^2=AC \] um drei Einheiten vermehrt wird. Daraus folgt, daß jeder Hauptlösung der letzten Gleichung nicht mehr als sechs nicht-äquivalente Formen entsprechen. Beisp. \(D = 189\). Fall: \(D=\) einer Quadratzahl. Wird die Form \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) zerlegbar, so wird sie auf die Nullform \((0\cdot b \cdot c \cdot d)\) zurückführbar und umgekehrt. Allgemeine Form der Determinante für zerlegbare Formen. Die Darstellung der gegebenen Zahl \(m\) durch die Form \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) hängt von der Lösung der Gleichung \(A^3-P^2=-Dm^2\) ab. Es ist also in erster Linie zu sehen, ob nicht die gegebene Form \((a \cdot b \cdot c \cdot d)\) zerlegbar sei. In diesem Falle ist die Aufgabe leicht zu lesen und besitzt eine beschränkte Anzahl von Lösungen. Beispiel: \[ 8x^3+30 x^2y+27xy^2+7y^3=56. \]