Konvergenzsätze für alternierende unendliche Kettenbrüche. (Q1505207)

Die von \textit{Pringsheim} (F. d. M. \(29\), 178, 1898, JFM 29.0178.02) gegebenen Sätze über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche, deren Teilzähler und Teilnenner beliebige komplexe Zahlen sind, haben den Charakter hinreichender, aber nicht notwendiger Bedingungen. Daher liegt die Möglichkeit vor, unter Einführung weiterer Voraussetzungen engere Grenzen zu ziehen. Verf. untersucht alternierende Kettenbrüche, d. h. solche, deren reelle Teilbrüche abwechselndes Vorzeichen haben. Um von den hierbei gewonnenen, ebenfalls nur hinreichenden Kriterien eine Vorstellung zu geben, zitieren wir den Satz: Der unendliche alternierende Kettenbruch \[ b_0 \dot{-}\;\frac{a_1}{b_1} \,\dot{+}\, \frac{a_2}{b_2} \,\dot{-}\, \frac{a_3}{b_3} \cdots, \] worin \(a,b\) positive Zahlen bedeuten, konvergiert, und zwar unbedingt, wenn \[ b_{2\nu} b_{2\nu+1} \geqq a_{2\nu+1} \quad (\nu=1,2,3,\dots) \] ist und die unendliche Reihe: \[ \frac{1}{a_1}\;b_1 + \frac{a_2}{a_1a_3}\;b_3 + \frac{a_2a_4}{a_1a_3a_5}\;b_5 +\cdots \] divergiert. Der diesen Bedingungen genügende Bruch ist ein eigentlicher oder uneigentlicher, je nachdem in den obigen Ungleichheiten das Gleichheitszeichen für eine endliche oder unendliche Anzahl von Werten \(\nu\) steht.