Vraie signification de l'erreur moyenne. (Q1505254)

(Siehe JFM 34.0261.04) Der Verf. will eine neue Methode zur Auflösung von Gleichungen der Form \(A_iX+B_iY+C_iZ=M_i\) (\(i=1,\dots,n;n>3\)) entwickeln, die von Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen frei ist und gleichfalls auf die Methode der kleinsten Quadrate führt. Verf. beschränkt sich auf drei Unbekannte, auf den Endwert von \(X\) und auf die Annahme gleicher Genauigkeit für alle Gleichungen; seine Untersuchungen sind jedoch allgemein. In der linearen Funktion \(p_1M_1+p_2M_2+\cdots +p_nM_n=\varSigma pM\) seien die \(p\) genaue, positive oder negative Zahlen, während die \(M_i\) mit wahren Fehlern \(e_i\) behaftet seien mit der allen gemeinsamen ``Approximation'' \(m\). Die Approximation von \(\varSigma pM\) ist dann \(m \varSigma |p|\), wo \(|p|\) den absoluten Betrag von \(p\) bezeichnet. Da hiermit aber das Problem unlösbar erscheint, so hat der Verf. als Approximation statt dessen den Ausdruck \(m \sqrt{n \varSigma p^2}\) eingeführt, der dem ersten Ausdruck gleich oder größer als er ist. Für eine nicht lineare Funktion \(F(M_1,M_2,\dots,M_n)\) ist dann die Approximation \(m \sqrt{n \varSigma \left( \frac{\partial F}{\partial M} \right)^2}\), wenn man die zweiten und höheren Potenzen in der Entwicklung von \[ F(M_1+e_1,M_2+e_2,\dots,M_n+e_n) \] nach Potenzen der \(e_1\) vernachlässigen darf. Es ergeben sich sodann die beiden folgenden Sätze: 1. Durch welches Verfahren man auch immer zur Ableitung eines linearen Endwertes \(X_1=\varSigma pM\) gelangen möge, die \(p_i\) müssen den Gleichungen: \[ \varSigma pA=1,\quad \varSigma pB=0,\quad \varSigma pC=0 \] genügen, und der Endwert gehört notwendig zu der unendlichen Anzahl von Werten \(X\), die man erhält, wenn man die gegebenen Gleichungen mit den verschiedenen Reihen der \(p_i\), die den vorstehenden Gleichungen genügen, multipliziert und sie sodann addiert. 2. Jede nicht lineare Lösung \(X_2=F(M_1,M_2,\dots,M_n)\) der Grundgleichungen hat denselben Wert und die gleiche Approximation wie ein Wert \(X\) der Reihe \(X=\varSigma pM\), vorausgesetzt, daß die \(M_i\) so angenähert richtig sind, daß man sich auf die ersten Potenzen der \(e_i\) beschränken kann. Als beste Approximation von \(X\) muß man offenbar den Wert von \(X\) ansehen, der den kleinsten Wert von \(m \sqrt{n \varSigma p^2}\) ergibt, und diese Forderung führt auf die Rechenvorschriften der Methode der kleinsten Quadrate. Im Anschluß an diese Ergebnisse wird in der zweiten Notiz gezeigt, daß der Ausdruck für den mittleren Fehler: \(\sqrt{\frac{[ee]}{n}}\) zugleich den kleinsten Wert für die Approximation der \(M_i\) darstellt.