Über einen Satz der Fehlertheorie und seine Anwendung. (Q1505259)

Es handelt sich um den folgenden Satz: Wenn die unabhängigen Beobachtungsfehler \(\varepsilon_i\) \((i=1,2,\dots,n)\) einzeln das Gesetz \[ \frac{h_i}{\sqrt \pi}\;e^{-h_i^2 (\varepsilon_i-a_i)^2} \] befolgen, so unterliegt eine homogene lineare Funktion derselben einem Gesetz der gleichen Form: \[ \frac{H}{\sqrt \pi}\;e^{-H^2(z-A)^2}, \] dessen Parameter \(H, A\) von jenen der Einzelfehler und den Koeffizienten in \(z\) in bestimmter Weise abhängen. Bei dem sehr einfachen, durch Induktion geführten Beweise dieses schon von \textit{Pizzetti} und \textit{E. Lindelöf} benutzten Satzes ergibt sich \[ \frac{1}{H^2}= \frac{k_1^2}{h_1^2} + \frac{k_2^2}{h_2^2} + \cdots +\frac{k_n^2}{h_n^2}\,, \] \[ A=k_1a_1+k_2a_2+ \cdots +k_na_n, \] wenn \[ z=k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+ \cdots +k_n \varepsilon_n \] angenommen wird. Als spezielle Fälle werden behandelt: die Differenz \(\delta\) zweier gleich genauen Beobachtungen \(l_1,l_2\) einer und derselben Größe \(X\); die Abweichungen \(\lambda_i\) einer Reihe von Beobachtungen \(l_1\) einer Größe \(X\) von dem arithmetischen Mittel der \(l_i\); vermittelnde Beobachtungen.