Skew frequency curves in biology and statistics. Published by the astronomical laboratory at Groningen. (Q1505274)

In der Ansicht, daß die Theorie der schiefen Häufigkeitskurven von großem Interesse ist für die Diskussion biologischer und statistischer Data, behandelt der Verf. die Frage nach der Entstehung schiefer Frequenzen. Er bemerkt, daß die \textit{Pearson}schen Kurven als rein empirisch aufzufassen sind, und daß die Annahme, eine Abweichung oder ein Fehler entstehe durch die Wirkung eines Komplexes zahlreicher Ursachen, welche unabhängig von einander jede für sich nur sehr kleine Fehler hervorrufen, für den Gesamtfehler immer wieder eine normale Häufigkeitskurve ergibt. Er betrachtet ein Größensystem \(x\) durch die Gleichung \(z=F(x)\) mit einem zweiten Größensystem von normaler Frequenz verbunden und erhält demgemäß für die Größen \(x\) die Häufigkeitskurve \[ y=\frac{h}{\sqrt \pi}\;F'(x)e^{-h^2[F(x)-M]^2}. \] Dabei muß der Bedingung \[ \int ydx=1 \] genügt werden, wenn die Integration sind über das ganze Gebiet der Größen \(x\) erstreckt. Der Verf hat zahlreiche schiefe Frequenzkurven auf ihr allgemeines Verhalten geprüft, und er hat gefunden, daß sie ohne Ausnahme in befriedigender Weise durch die von ihm aufgestellte Gleichung ihre Darstellung finden wenn man setzt: \(F(x)=(x+k)^q\) und zugleich noch einen konstanten Koeffizienten \(A\) einführt. Nach ihm kann man daher im allgemeinen eine beliebige Häufigkeitskurve darstellen durch die Gleichung \[ y= \pm A \frac{hq}{\sqrt \pi}\;(x+k)^{q-1} e^{-h^2[(x+k)^q-M]^2}, \] \[ \left( 1/A=\frac{1}{\sqrt \pi} \int_{-\infty}^{hM} e^{-z^2} dz \right). \] Diese Gleichung enthält vier Konstanten \(h,q,k,M\), welche aus der gegebenen Beobachtungsreihe ermittelt werden müssen. An einem Beispiele (Beobachtungen über die Gefühlschwelle ``threshold of sensation'', angestellt von Prof. \textit{Heymans} in Groningen) wird ausführlich die Konstantenbestimmung dargelegt. Diese Bestimmung geschieht nur teilweise rechnerisch; sie stützt sich fast gänzlich auf eine graphische Interpolation in einer von zwei vom Verf. zu diesem Zwecke angefertigten Tafeln. Es zeigt sich in diesem und auch in anderen schon von \textit{Pearson} bearbeiteten Beispielen, daß die mittels der Gleichung berechnete schiefe Frequenz durchgängig übereinstimmt mit der, welche die Beobachtung aufweist, und zwar ist die Übereinstimmung weit besser als diejenige, welche man mittels einer etwaigen normalen Frequenzkurve erhalten würde. Das Buch enthält des weiteren eine allgemeine, durch Abbildungen erläuterte Diskussion der verschiedenen Gestalten, welche die Frequenzkurve für verschiedene Werte der Parameter anzunehmen fähig ist.