Deux théorème d'\textit{Abel} sur la convergence des séries. (Q1505284)

I. Ist die divergente Reihe positiver Glieder \(u_0+u_1+u_2+\cdots\) gegeben, so kann man immer eine Folge positiver, gegen Null konvergierender Größen \(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n,\dots\) finden, ohne daß die durch Multiplikation sich ergebende Reihe \(\xi_0u_0+\xi_1u_1+\cdots +\xi_nu_n+\cdots\) konvergent ist. -- II. Ist eine konvergente Reihe positiver Glieder gegeben, so kann man immer eine Folge positiver, unendlich wachsender Zahlen finden, mit denen man die entsprechenden Glieder der Reihe multiplizieren kann, ohne sie divergent zu machen. -- Im Anschluß an diese beiden Sätze stellt Hadamard die Frage: Wie muß die Folge \(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\dots\) gewählt werden. daß aus jeder (absolut, oder nicht absolut) konvergenten Reihe durch Multiplikation ihrer Glieder mit resp. \(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\dots\) eine gleichfalls konvergente Reihe entsteht\(?\) Er findet: Die notwendige und hinreichende Bedingung besteht in der absoluten Konvergenz der Reihe \(\xi_0+(\xi_1-\xi_0)+(\xi_2-\xi_1)+\cdots +(\xi_{n+1}-\xi_n)+\cdots \).