On the convergence of certain multiple series. (Q1505289)

Setzt man: \[ \varDelta=\alpha_{pq},\quad \varDelta_i=\alpha_{iq}-\alpha_{i+1q},\quad \varDelta_j=\alpha_{pj}-\alpha_{pj+1}, \] \[ \varDelta_{ij}=\alpha_{ij}-\alpha_{i+1j}-\alpha_{ij+1}+\alpha_{i+1j+1}, \] so ist: \[ \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q \alpha_{ij}u_{ij} = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{q-1} \varDelta_{ij} \sum_{k=1}^i \sum_{l=1}^j u_{kl} + \sum_{i=1}^{p-1} \varDelta_i \sum_{k=1}^i \sum_{l=1}^q u_{kl} +\sum_{j=1}^{q-1} \varDelta_j \sum_{k=1}^p \sum_{l=1}^j u_{kl} + \varDelta \sum_{k=1}^p \sum_{l=1}^q u_{kl}. \] Für \(n\)-fache Reihen ist: \[ \sum_{i_1=1}^{p_1} \sum_{i_2=1}^{p_2} \cdots \sum_{i_n=1}^{p_n} \alpha_{i_1i_2\dots i_n} u_{i_1i_2\dots i_n} = \sum \left[ \sum \varDelta\left( \sum \sum \cdots \sum u_{k_1k_2\dots k_n}\right)\right]. \] Die rechte Seite wird in folgender Weise gebildet. Eine Auswahl der Zeiger \(i_1,i_2,\dots,i_n\) wird als Zeiger von \(\varDelta\) genommen: kommt \(i_1\) darin nicht vor, so wird \(i_1=p_1\) in \(a_{i_1\dots i_n}\) gesetzt, kommt \(i_1\) darin vor, so wird \(\alpha_{i_1i_2\dots i_n}-\alpha_{i_1+1i_2 \dots i_n}\) für \(\alpha_{i_1i_2\dots i_n}\) gesetzt: dies wird für jeden Zeiger wiederholt, dadurch ergibt sich das entsprechende \(\varDelta\). In der runden Klammer sind die Summationsgrenzen für \(k_\nu\) gleich 1 und \(i_\nu\), wenn \(i_\nu\) ein Zeiger von 1 ist, sonst 1 und \(p_\nu\). In der eckigen Klammer bezieht sich die Summation auf jedes \(i_\nu\), das ein Zeiger von \(\varDelta\) ist; die Grenzen sind 1 und \(p_\nu-1\). Die Summation außerhalb der Klammer bezieht sich auf jede Auswahl der Zeiger (einschließlich des Falles eines nicht gewählten Zeigers; dann ist \(\varDelta=\alpha_{p_1p_2\dots p_n}\)). Es wird ein Konvergenzkriterium für die Reihe \[ \sum_1^\infty \sum_1^\infty \cdots \sum_1^\infty \alpha_{i_1i_2\dots i_n} u_{i_1i_2 \dots i_n} \] aufgestellt.