Untersuchungen über \textit{Fourier}sche Reihen. (Q1505299)

Ist es möglich, aus der zur stetigen Funktion \(f(x)\) gehörigen \textit{Fourier}schen Reihe, beispielsweise aus der mit ihr äquivalenten Funktionsfolge \(s_0(x),s_1(x),\dots,s_n(x),\dots\), wo \[ s_n(x)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\alpha) d \alpha + \sum_{\nu=1}^n \left\{ \frac 1\pi \int_0^{2\pi} f(\alpha)\cos \nu(\alpha-x)d \alpha \right\} \] ist, eine andere Funktionsfolge abzuleiten, die für ein beliebiges \(x\) zu \(f(x)\) als Grenzfunktion konvergiert\(?\) Diese Frage ist mit ``Ja'' zu beantworten: Die Folge der arithmetischen Mittel \[ s_0(x),\quad \tfrac 12 [s_0(x)+s_1(x)].\dots, \tfrac 1n[s_0(x)+s_1(x)+ \cdots + s_{n-1}(x)], \] welche aus endlichen trigonometrischen Reihen besteht, hat die angegebene Eigenschaft; sie konvergiert in jedem Intervall gleichmäßig zu \(f(x)\), während die Folge \(s_0(x),s_1(x),\dots,s_n(x), \dots\), wenn sie auch für jedes \(x\) konvergiert, nicht gleichmäßig zu konvergieren braucht. Im besonderen wird folgendes bewiesen: Ist \(f(x)\) eine im Intervall von 0 bis \(2\pi\) integrable Funktion, die nur an einer endlichen Anzahl von Stellen dieses Intervalls unendlich wird, so konvergiert die Folge der arithmetischen Mittel \(S_n(x)\) an jeder Stelle \(x\), wo \(f(x)\) stetig ist oder eine Diskontinuität von der ersten Art besitzt, und zwar zu \(\frac 12[f(x+0)+f(x-0)]\) als Grenzwert. Ist \(f(x)\) eine Funktion, welche mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Stellen \(a_r\) des Intervalls \((0,2\pi)\) an welchen sie einen einfachen Sprung erleidet, überall stetig ist und eine stetige Ableitung \(f'(x)=0\) besitzt, so ist die aus der \textit{Fourier}schen Reihe von \(f(x)\) \[ a_0 + \sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx+b_n \sin nx) \] durch gliedweise Differentiation erhaltene Reihe \[ \varSigma(nb_n \cos nx-na_n \sin nx)\quad (n=1\quad \text{bis}\quad \infty) \] bekanntlich für jedes \(x\) divergent, während die arithmetischen Mittel dieser Reihe eine (von den Stellen \(a_r\) abgesehen) überall konvergente Folge bilden, die als Grenzfunktion die Ableitung \(f'(x)\) besitzt. Es sei \(u_0+u_1+\cdots+u_n+\cdots\) eine divergente Reihe, für welche der Grenzwert \[ \lim S_n=S,\quad S_n=(s_0+s_1+\cdots +s_n)/(n+1),\quad s_n=u_0+\cdots +u_n \] existiert; es sei ferner \(\varphi(t)\) eine Funktion, für welche \[ |\varphi(t)|< \frac{M}{t^{2+\varrho}},\quad \left| \frac{d^2 \varphi}{dt^2} \right|< \frac{M}{t^{2+\varrho}} \] ist, wenn \(t\) positiv und größer als 1 ist; \(M\) und \(\varrho\) bedeuten positive Konstanten. Dann ist \[ F(t)=u_0 \varphi(0t)+u_1\varphi(1t)+ u_2 \varphi(2t)+\cdots +u_n \varphi(nt)+\cdots \] für jedes positive \(t\) konvergent, und wenn \(\varphi(0)=1\) ist, \(\lim F(t) = S\) für \(t = + 0\).