Über binomische Fakultäten und deren Koeffizienten. (Q1505306)

Das Produkt \(\prod_{k=1}^n (x+a_k) \equiv (x+a_1)(x+a_2) \cdots (x+a_n)\) heißt eine ``binomische Fakultät'', die in der ihm gleichen Summe \[ x^n+k_n^1 x^{n-1} + k_n^2 x^{n-2} + \cdots +k_n^n \] auftretenden Koeffizienten \(k_n^1,k_n^2,\dots,k_n^n\) ``Fakultätskoeffizienten''; dabei ist \[ \begin{aligned} & k_n^1=a_1+a_2+\cdots +a_n, \\ & k_n^2=a_1a_2+a_1a_3+\cdots +a_{n-1}a_n,\dots, k_n^n=a_1a_2 \dots a_n, \end{aligned} \] und es gilt die Darstellung \(k_n^i=(a_1^0 a_2^1 a_3^2 \dots a_{n-1}^{n-i-1} a_{n-i+1}^{n-i} \dots a_n^n): \delta_n\), worin der Zähler eine Potenzdeterminante \(n\)-ten Grades bildet, der Nenner die zugehörige einfache Potenzdeterminante (die durch das alternierende Produkt \((a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots (a_3-a_2\dots (a_n-a_{n-1})=\delta_n\) sich ausdrücken läßt). Ist \(a_k=1\) \((k=1,2,3,\dots,n)\), so wird \[ k_n^i = n_i = \frac{n!}{i!(n-i)!} = \frac{n^{i-1}}{i!}. \] Für \(a_k=k\) \((k=1,2,3,\dots,n)\) ergibt sich \[ (x+1)^{n|1}=x^n + n|_1 x^{n-1} + n|_2 x^{n-2} + \cdots + n|_n, \] wo die Fakultätskoeffizienten durch die rekurrente Formel \[ \overline{n-1} |_{k=1} \cdot n + \overline{n-1} |_k = n|_k \] oder durch die independente \(n_k=\frac{\delta_k}{k!}\) gegeben sind, wobei \[ \delta_k = \begin{vmatrix} (n+1)_2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ (n+1)_3 & n_2 & -2 & \dots & 0 \\ (n+1)_4 & n_3 & (n-1)_2 & \dots & 0 \\ \vdots \\ (n+1)_{k+1} & n_k & (n-1)_{k-1} & \dots & (n-k+2)_2 \end{vmatrix} \] ist. Für \(a_k=a+(k+1)d(k=1,2,\dots,n)\) ergibt sich \[ \prod_{k=1}^n (x+a_k)=(x+a)(x+a+d) \dots (x+a+ \overline{n-1} d) =x^n+ n \|_1 x^{n-1} + n \|_2 x^{n-2} + \cdots + n \| _n, \] wo \[ n \|_1=n_1a + n_2d,\quad n \|_2=n_2a^2+n'|_1(n-1)_1 ad+n'|_2 d^2, \] \[ n'=n-1,\dots,\quad n \|_k = \sum_{i=0}^k n'|_i (n-i)_{k-i} a^{k-i}d, \] bezüglich \(\overline{n-1} \|_{k-1} \cdot (a+\overline{n-1}d) + \overline{n-1} \|_k = n \|_k\) ist. Dabei besteht die Relation \(\varSigma n \|_k = (1+a)^{n|d}\). Endlich wird die einfache binomische Fakultät auch nach Fakultäten der einzelnen Monome entwickelt: \[ (x+1)^{n|1} = x^{n|1} + n_1x^{n-1|1} \cdot 1' \cdot n_2x^{n-2|2} \cdot 2' \cdot +\cdots + n'. \]