Über das Verhalten einer Funktion von mehreren Veränderlichen in der Umgebung einer Stelle, an welcher sie die Form \(\frac 00\) hat. (Q1505354)

Untersucht wird die reelle Funktion \[ F(x_1,x_2,\dots,x_n)= \frac{\varPhi(x_1,x_2,\dots,x_n)}{\varPsi(x_1,x_2,\dots,x_n)} \] in der Umgebung der Nullstelle unter der Annahme, daß die eindeutigen und stetigen Funktionen \(\varPhi\) und \(\varPsi\) für \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\) verschwinden. Die Hülfsfunktion \(U_\alpha=\varPhi-\alpha \varPsi\) ist im Nullpunkte gleich Null. Besitzt sie in diesem Punkte ein Maximum oder Minimum, so ist in seiner Umgebung \(U_\alpha\neq 0\), also auch \(F\neq \alpha\). Dagegen kann \(F\) den Wert \(\alpha\) in jeder Umgebung der Stelle (0) annehmen, wenn \(U_\alpha\) im Nullpunkt kein extremer Wert ist. Hiernach kann man behaupten: Besitzt \(U_\alpha\) an der Nullstelle ein Extremum für alle \(\alpha\), für die \(\alpha > \alpha_1\) und \(\alpha < \alpha_0\) ist, so kann die Funktion \(F\) bei der Annäherung an die Stelle (0) jeden zwischen \(\alpha_0\) und \(\alpha_1\) gelegenen Wert annehmen, die Grenzen ausgeschlossen oder eingeschlossen, je nachdem \(U_{\alpha_1}\) und \(U_{\alpha}\) Maxima, bezw. Minima sind oder nicht. Von den fünf Fällen, die Verf. unterscheidet, die aber auch erschöpfend sind, ergeben sich die Fälle 2. bis 5., indem man setzt: 2. \(\alpha_1=\alpha_0\), \(\alpha>\alpha_0\) und \(\alpha< \alpha_0\); 3. \(\alpha_0\) oder \(\alpha_1\) unendlich groß; 4. \(\alpha_0\) und \(\alpha_1\) endlich und voneinander verschieden; 5. \(\alpha_1=+\infty\), \(\alpha_0=-\infty\). Im Falle 1. hat \(U_\alpha\) für jeden Wert \(\alpha\) im Nullpunkt ein Extremum. Dann existiert ein einziger, von der Art des Grenzüberganges unabhängiger (endlicher oder unendlich großer) Grenzwert für \(F(0)\).