Über eine gewisse Gattung von Kugelflächen-Integralen. (Q1505396)

Verf. betrachtet das über die Oberfläche der Einheitskugel erstreckte Integral \[ J_n=\int (x \alpha^2+y \beta^2 + z \gamma^2)^n d \omega. \] \(\alpha,\beta,\gamma\) sind die Richtungskosinus des nach \(d \omega\) führenden Radius und \(x, y, z\) reelle Veränderliche. \(n\) ist eine reelle Konstante. Es ergeben sich zunächst für \(J_n\) die Relationen \[ {(1)}\qquad x \;\frac{\partial J_n}{\partial x} + y\;\frac{\partial J_n}{\partial y} + z\;\frac{\partial J_n}{\partial z}=nJ_n, \] \[ {(2)}\qquad \frac{\partial J_n}{\partial x}+ \frac{\partial J_n}{\partial y} + \frac{\partial J_n}{\partial z}=nJ_{n-1}. \] Berechnet man das Volumen eines Ellipsoids, so gewinnt man die (für positive \(A, B, C\) gültige) Formel \[ \int (A \alpha^2+B \beta^2+ C \gamma^2)^{-\frac 32} d \omega = 4\pi (ABC)^{-\frac 12}. \] Ersetzt man hier \(A,B,C\) durch \(1-\varepsilon x\), \(1-\varepsilon y\), \(1-\varepsilon z\) mit hinreichend kleinem \(|\varepsilon|\), so kommt \[ (3)\quad \begin{cases} \{(1-\varepsilon x)(1-\varepsilon y)(1- \varepsilon z) \}^{-\frac 12} \\ =\frac{1}{4\pi} \int \{ 1-\varepsilon (x \alpha^2+y \beta^2 + z \gamma^2) \}^{-\frac 32} d \omega = \sum_0^\infty H_n \varepsilon^n , \end{cases} \] wobei \[ H_0=\frac{1}{4\pi}\;J_0,\quad H_1=\frac{1}{4\pi} \cdot \frac 32\;J_1,\quad H_2=\frac{1}{4\pi} \cdot \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 4}\;J_2,\dots \] ist. Aus (3) und deren Ableitungen nach \(x,y,z\) ergibt sich: \[ (4)\quad \begin{cases} J_n+2x\, \frac{\partial J_n}{\partial x}=2\, \frac{2n+3}{2n+2}\, \frac{\partial J_{n+1}}{\partial x}\,, \\ J_n+2y\, \frac{\partial J_n}{\partial y}=2\, \frac{2n+3}{2n+2}\, \frac{\partial J_{n+1}}{\partial y}, \\ J_n+2z \frac{\partial J_n}{\partial z}=2\, \frac{2n+3}{2n+2} \,\frac{\partial J_{n+1}}{\partial z}\,. \end{cases} \] Hieraus folgt die Rekursionsformel \[ (5)\quad (x+y+z)J_n+2 \left( x^2 \,\frac{\partial J_n}{\partial x} + y^2\, \frac{\partial J_n}{\partial y} + z^2\, \frac{\partial J_n}{\partial z} \right) =(2n+3)J_{n+1}. \] Sind \(x, y, z\) \textit{positiv,} so gelten (4) und (5) für jedes reelle \(n\) (nicht bloß für \(n = 0,1,2,\dots\)), und \(x, y, z\) dürfen auch komplexe Werte haben, wenn nur ihre reellen Teile positiv sind. Für \(n=-1\) liefert die erste der Formeln (4) \[ (6)\quad \int \frac{d \omega}{x \alpha^2+y \beta^2+z \gamma^2} -2x \int \frac{\alpha^2 d \omega}{(x \alpha^2+y \beta^2+z \gamma^2)^2} =\int \frac{\alpha^2 d \omega}{x \alpha^2+y \beta^2+z \gamma^2}. \] Verf. macht zum Schluß eine Anwendung auf das Problem der Attraktion eines homogenen Ellipsoids. Bezeichnet \(q\) die Dichtigkeit, so ist das \textit{Newton}sche Potential in bezug auf einen inneren Punkt \[ V=\tfrac q2 (Gx^2+Hy^2+Jz^2+K), \] wobei die Konstanten \(G,H,J,K\) nur von den Achsen des Ellipsoids abhängen; man hat z. B. \[ K=\int \frac{d \omega}{A \alpha^2 + B \beta^2 + C \gamma^2}, \] \[ G=A[\left[ 2A \int \frac{\alpha^2 d \omega}{(A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2)^2} - \int \frac{d \omega}{A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2} \right]; \] \(A,B,C\) sind die reziproken Quadrate der Halbachsen. Mit Hülfe von (6) ergibt sich nun \[ G=- A \int \frac{\alpha^2 d \omega}{A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2} =-\int \frac{ \left( \frac \alpha a \right)^2 d \omega }{ \left( \frac \alpha a \right)^2 + \left( \frac \beta b \right)^2 + \left( \frac \gamma c \right)^2}\,, \] und analoge Ausdrücke gelten für \(H\) und \(J\). Die Kraftkomponenten werden: \[ X=k^2qGx,\quad Y=k^2qHy,\quad Z=k^2qJz. \] Sie bleiben ungeändert, wenn \(a,b,c\) durch \(\lambda a,\lambda b,\lambda c\) ersetzt werden. ``Diese einfache Bemerkung führt zu befremdlichen Resultaten, sobald man der gewöhnlichen Vorstellung sich hingibt, daß \(\dots\) das Sternenmeer nach allen Seiten ins Unendliche sich erstrecke und zugleich eine \textit{konstante} mittlere Dichtigkeit besitze.'' Man kann sich dann das Universum als ein \textit{unendlich großes homogenes} Ellipsoid vorstellen und darf die Halbachsen desselben gleich \(\lambda a,\lambda b,\lambda c\) (\(\lambda\) unendlich groß) setzen. Es ergäbe sich also das Resultat, ``daß von diesem unendlich großen \(\dots\) Ellipsoid auf die einzelnen Sterne \(\dots\) Kräfte ausgeübt werden, die wesentlich abhängen von jenen ganz \textit{willkürlich} gewählten Konstanten \(a, b, c\); -- was offenbar absurd ist.'' Dazu kommt noch, daß der Mittelpunkt des Ellipsoids willkürlich gewählt werden kann, ebenso die Stellung des Achsentripels. Verf. macht noch einige Bemerkungen über seine früheren Äußerungen betreffs dieser absurden Konsequenzen des \textit{Newton}schen Gesetzes und über die einschlägigen Arbeiten \textit{Seeligers.}