Some applications of \textit{Fourier}'s theorem. (Q1505397)

Es handelt sich um das \textit{Fourier}sche Theorem \[ F(x)=\frac{1}{2\pi i} \int_{c-\infty i}^{c+\infty i} e^{xy}dy \int_a^b e^{-zy} f(z)dz. \] Dabei sind \(a\) und \(b\) reelle Zahlen, und der auf \(z\) bezügliche Integrationsweg geht längs der reellen Achse in der \(z\)-Ebene von \(b\) nach \(a\); \(c\) ist reell und positiv, und der auf \(y\) bezügliche Integrationsweg verläuft innerhalb des ersten und vierten Quadranten der \(y\)-Ebene. Aus diesem Theorem werden viele interessante Integralformeln abgeleitet. Z. B. ist \[ J_n(x)x^{-m}=\frac{1}{2\pi i} \int_{c-\infty i}^{c+\infty i} e^{xy}dy \int_0^\infty e^{-yz} J_n(z)z^{-m} dz. \] Daraus ergibt sich, falls \(n - m\) eine ganze Zahl ist, die Formel \[ J_n(x) x^{-m}=\frac{i^{n-m}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^1 e^{ix \mu}(1-\mu^2)^{\frac 14(2m-1)} P_{n-\frac 12}^{\frac 12-m} (\mu)d \mu, \] worin mehrere bekannte Resultate als Spezialfälle stecken.