Question 15265. (Q1505408)

Man habe \[ l^2+m^2+n^2+\cdots=0,\quad l'{}^2+m'{}^2+n'{}^2+\cdots =0, \quad l''{}^2+m''{}^2+n''{}^2+ \cdots =0; \] die positiven ganzen Zahlen \(s,s',s''\) mögen die Bedingungen erfüllen \[ s'+s''-s\overset{=}> 0,\quad s''+s-s'\overset{=}>0,\quad s+s'-s''\overset{=}>0,\quad s+s'+s''=0(\text{mod.\,}2). \] Dann hat das über die Hypersphäre \(x^2+y^2+z^2+\cdots=1\) erstreckte Integral: \[ \int (lx+my+nz+\cdots)^s(l'x+m'y+n'z+\cdots)^{s'} \times (l''x+m''y+n''z+\cdots)^{s''} dx\,dy\,dz \cdots \] den Wert \[ \frac{\pi^{\frac 12 \nu}}{2^\sigma}\;\frac{s!s'!s''!}{(\sigma-s)!(\sigma-s')!(\sigma-s'')!}\;\frac{(\varSigma l'l'')^{\sigma-s} (\varSigma l''l)^{\sigma-s'} (\varSigma ll')^{\sigma-s''}}{\varGamma(\sigma+1+\frac 12\,\nu)}, \] wo \(\sigma=\frac 12(s+s'+s'')\), \(\nu\) die Anzahl der Dimensionen der Hypersphäre ist. Wenn \(s,s',s''\) nicht die angegebenen Bedingungen erfüllen, ist der Wert des Integrals 0.