Über näherungsweise Kubaturen. (Q1505411)

Einen Näherungswert des Doppelintegrals \[ \int_a^\alpha \int_b^\beta F(x,y)dx\,dy \] erhält man, indem man \(F\) durch eine ganze rationale Funktion annähert. Dies läßt sich in folgender Weise erreichen. Es sei \[ \begin{aligned} & a=x_1<x_2<\cdots <x_{m+1}=\alpha, \\ & b=y_1<y_2<\cdots <y_{m+1}=\beta.\end{aligned} \] Dann gibt es eine und nur eine ganze Funktion \(m\)-ten Grades \(f(x,y)\), welche an den durch \(\mu+\nu \leqq m+2\) charakterisierten Stellen \((x_\mu,y_\nu)\) dieselben Werte hat wie \(F\). Für den Rest \(F-f=R\) läßt sich mit Hülfe der \((m+1)\)-ten Ableitungen von \(F\) ein Ausdruck angeben, wodurch eine Abschätzung des Fehlers \(\iint (F-f)dx\,dy\) ermöglicht wird. Im Falle \(m = 2\) ergibt sich für das Doppelintegral eine Näherungsformel, die eine Verallgemeinerung der \textit{Simpson}schen Regel: \[ \int_a^b ydx=\tfrac h6(y_1+4y_2+y_3) \] darstellt.