Untersuchung der Integrale einer linearen Differentialgleichung in der Umgebung einer Unbestimmtheitsstelle mittelst sukzessiver Annäherungen. (Q1505432)

Verf. zeigt, daß eine passende Umgestaltung der von \textit{Fuchs} (Annali di Mat. {(2)} \( 4\), 1870) mittels einer Methode sukzessiver Annäherungen hergestellten Reihenentwicklung der Integrale einer linearen Differentialgleichung besonders geeignet ist, das Verhalten der Integrale bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmtheitsstelle zu untersuchen, eine Aufgabe, welche von \textit{Poincaré}, mittels der \textit{Laplace}schen Transformierten erfolgreich in Angriff genommen wurde, und bei welcher die der Differentialgleichung formell genügenden divergenten Reihen eine Rolle spielen. Verf. beschränkt sich vorläufig auf eine Klasse von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, für welche sich das Verhalten der Integrale in der ganzen Umgebung der Unbestimmtheitsstelle, welche man zweckmäßig ins Unendliche verlegt, am übersichtlichsten darstellt; er betrachtet die Differentialgleichung \(y''+Py'+Qy=0\), deren Koeffizienten sich in der Umgebung der Stelle \(x=\infty\) in konvergente Potenzreihen entwickeln lassen. Es handelt sich hier mehr um die Darstellung der Methode als um neue Sätze. Indessen ist der am Schluß der Arbeit hervorgehobene Hauptsatz bisher nur für den Fall, daß \(P\) und \(Q\) rationale Funktionen von \(x\) sind, in derselben Vollständigkeit bewiesen (Math. Ann. \( 49\), 50; Acta Math. \( 23\)), und zwar im Anschluß an \textit{Poincaré} nach einer Methode, welche auf die jetzige allgemeinere Differentialgleichung, deren Koeffizienten nur in der Umgebung der Stelle \(x=\infty\) den Charakter rationaler Funktionen zu haben brauchen, nicht mehr anwendbar ist. -- Eine kurze Zusammenfassung der Resultate findet sich in C. R. \(126\), 205-208 (F. d. M. \( 29\), 271, 1898, JFM 29.0271.01).