Integrazione geometrica di alcune equazioni differenziali. (Q1505443)

Durch zweifache Lösung des geometrischen Problems, eine Kurve doppelter Krümmung derart zu bestimmen, daß sowohl der Radiusvektor als auch der Kosinus des Winkels, unter dem die Kurve die Meridiane der durch ihre Rotation um die \(z\)-Achse erzeugten Fläche schneidet, eine gegebene Funktion des Bogens ist, gelangt Verf. -- und zwar dadurch, daß die eine Lösung auf eine Differentialgleichung, die andere auf bloße Quadraturen führt -- zu dem allgemeinen Integral der Differentialgleichung \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + My\;\frac{dy}{dx} + Ny^2 = \left(N-\frac{M^2}{4} \right) e^{-\int Mdx}, \] worin \(M\) und \(N\) Funktionen von \(x\) allein sind; dasselbe lautet \[ y=e^{-\frac 12 \int Mdx} \sin \left( \int \sqrt{N-\frac{M^2}{4}}\;dx+c\right). \]