Sur une série dans la théorie des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients périodiques. (Q1505458)

Es sei \(\psi(x)\) irgend eine von Null verschiedene Lösung der linearen Differentialgleichung \[ {(1)}\quad y''+py=0, \] wo \(p\) eine stetige periodische Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) mit der Periode \(\omega\) bezeichnet. Das Verhältnis \[ 2A=\frac{\psi(x+\omega)+\psi(x-\omega)}{\psi(x)} \] wird eine Konstante, und zwar dieselbe für alle Lösungen. Der Verf. nennt \(A\) die ``charakteristische Konstante'' der Gleichung. -- Wird \(A\) reell, und ist \(A^2<1\), so sind sämtliche Lösungen begrenzte Funktionen; wird dagegen \(A^2>1\), so werden sämtliche Lösungen außer \(y=0\) unbegrenzte Funktionen. Für \(A^2=1\) gilt es stets begrenzte Lösungen, aber auch unbegrenzte Lösungen kommen vor. Unter verschiedenen Methoden zur angenäherten Berechnung der charakteristischen Konstante ist die folgende besonders bemerkenswert. Seien \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) zwei Lösungen von {(1)} von der Beschaffenheit, daß \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(\varphi(0)=0\), \(\varphi'(0)=1\); dann wird \[ 2A=f(\omega)+f(-\omega) \equiv f(\omega)+\varphi'(\omega), \] da \(f(-\omega)=\varphi(\omega)\). Setzen wir ferner \[ f_n(x)=\int_0^x dx \int_0^x pf_{n-1}(x)dx,\quad \varphi_n(x)=\int_0^x dx \int_0^x p \varphi_{n-1}(x)dx \] mit \(f_0(x)=1\), \(\varphi_0(x)=x\), und \(f_n(\omega)+\varphi_n'(\omega)=2A_n\). Dann wird \[ {(2)}\quad A=1-A_1+A_2-A_3+ \cdots \] Diese Reihe wurde vom Verf. in einer früheren Arbeit (Problème général de la stabilité du mouvement) betrachtet. Ändert \(p\) das Zeichen nicht, so werden für negatives \(p\) die \(A_s\) abwechselnd negativ und positiv, also \((-1)^nA_n>0\) und somit \(A>1\); für positives \(p\) sind auch die \(A_s\) positiv und nehmen von einem gewissen Range an fortwährend ab: \(A_n<\frac{A_1}{A_n}\,A_{n-1}\) (l. c.), also \(A^2<1\), wenn \(A_1 \leqq 2\), oder \[ \omega \int_0^\omega pdx \leqq 4. \] Man kann aber für \(A_n/A_{n-1}\) eine genauere obere Grenze angeben, was die Hauptaufgabe der Abhandlung bildet. Dazu bestimmt der Verf. das Produkt \(A_mA_n\) für \(m \leqq n\) durch die Formel \[ (3)\quad A_mA_n=\sum_{k=0}^m 2^k C_{n+m-2k}^{(m-k)} J_k, \] wo wie gewöhnlich \(C_q^{(0)}=1\). Hier ist: \[ J_k=\frac 14 \int_0^\omega dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \dots \int_0^{x_{m+n-1}} dx_{m+n} \cdot S_k D_1D_2 \dots D_{m+n}, \] wo \[ S_k=\varSigma \left\{ \frac{ D_{b_1}D_{b_2}\dots D_{b_k}}{D_{a_1}D_{a_2}\dots D_{a_k}} + \frac{D_{a_1}D_{a_2}\dots D_{a_k}}{D_{b_1}D_{b_2}\dots D_{b_k}} \right\} \] (das Summenzeichen bezieht sich auf alle Kombinationen von \(2k\) Zahlen aus den \(m+n:1,2,\dots,m+n\), für welche \(a_1<b_1<a_2<b_2<\dots <a_k<b_k\)). \(D_i=P_i+P_{i+1}\) \((i=1,\dots,m+n-1)\), \[ \begin{aligned} & D_{m+n}=\varOmega-P_1+P_{m+n},\quad P=\int pdx,\\ & P_i=P(x_i),\quad P_0=P(0),\quad \varOmega=\int_0^\omega pdx. \end{aligned} \] Also \(J_0=A_{m+n}\). Aus der Formel (3) folgt dann durch Vergleichung von \(A_n^2\) und \(A_{n-1}A_{n+1}: A_n^2>A_{n-1}A_{n+1}\), also \(\frac{A_n}{A_{n-1}} > \frac{A_{n+1}}{A_n}\) und ferner, für \(n > 2\), \(A_n^2>\frac{n}{n-1}\,A_{n-1}A_{n+1}\). Nimmt man in der Reihe {(2)} nur \(n + 1\) Glieder, so wird der Rest \((-1)^nR_n\) dem absoluten Betrage nach kleiner als \(\frac{n-1}{n} \cdot \frac{A_n^2}{A_{n-1}}\). Ferner gilt der Satz: Wird \(-A_1+A_2-A_3+\cdots +A_{2n} \leqq 0\), so ist \(A<+1\); wird \(2-A_1+A_2- \cdots -A_{2n-1} \geqq 0\), so wird \(A<-1\); wird \(-A_1+A_2-\cdots -A_{2n-1} \geqq 0\), so wird \(A>+1\). -- Hieraus kann man bestimmen, ob \(A\) in dem Intervalle (-1,+1) liegt oder nicht. -- Jedes Glied \(A_i\) der Reihe {(2)} führt zu drei unterschiedlichen Fällen je nach dem Werte des folgenden Gliedes. Alles kommt auf die Berechnung von \(A_1\), \(A_2\) usw. nacheinander hinaus. In gewissen Fällen werden die Rechnungen durch die Betrachtung der oberen Grenze von \(A_s\) vereinfacht. Setzen wir \[ P=\varOmega[t+\theta'(t)], \] wo \(\theta'(t)\) die Derivirte einer periodischen Funktion mit der Periode 1, so wird \[ A_2=\left[ \frac{1}{24} - \frac 12\, \int_0^1\, \theta'{}^2 dt \right] \omega^2 \varOmega^2; \] obere Grenze für \(A_3:A_3 \leqq \frac{1}{720}\, \omega^3 \varOmega_3\). Wird \(p=C+\varPhi''(x)\) (\(C\)=const, und die periodische Funktion \(\varPhi(x)\) genügt der Bedingung \(\int_0^\omega \varPhi(x)dx=0\)), so werden: \[ \begin{aligned} & A_1=\frac{C \omega^2}{2},\quad A_2=\frac{C^2\omega^4}{24} - \frac{\omega^4}{16 \pi^2}\, \sum_1^\infty {}_k \,\frac{C_k^2}{k^2},\\ & A_3=\frac{C^3 \omega^6}{\tau^{20}} - \frac{C \omega^6}{16 \pi^4}\, \sum_1^\infty{}_k \left(\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{k^2} \right) \frac{C_k^2}{k^2}\,,\end{aligned} \] wo die \(C_k\) die Koeffizienten der Entwicklung von \(\varPhi''(x)\) sind: \[ \varPhi''(x)=\sum_1^\infty {}_k C_k \sin\;\frac{2k \pi(x-\alpha_k)}{\omega}\, . \] Den Schluß der Abhandlung (S. 47-70) bildet die Anwendung der allgemeinen Betrachtungen auf zwei Beispiele: 1. \(p(x)=C(1+\lambda \cos x + \mu \cos 2x)\), wo \(C,\lambda,\mu\) Konstanten bedeuten; 2. \(p(x)=\lambda \cos^{2n}(x)\), wo \(n\) eine positive ganze Zahl und \(\lambda\) eine beliebige Konstante ist.