On Hilbert's independence theorem in the theory of maxima and minima of simple integrals. (Q1505523)

Der für das einfachste Problem der Variationsrechnung gültige \textit{Hilbert}sche Unabhängigkeitssatz wird auf das allgemeinere Problem ausgedehnt: Unter allen Funktionen \(y_1,\dots,y_n\) von \(x\), welche \(r<n\) gegebenen, in bezug auf die Differentialquotienten \(y_1',\dots,y_n'\) voneinander unabhängigen Bedingungsgleichungen \[ f_\varrho (x_1y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')=0 \quad (\varrho=1,2,\dots,r) \] genügen, an beiden Grenzen \(x_0\) und \(x_1>x_0\) feste Werte besitzen und zwischen diesen Grenzen mit ihren ersten Differentialquotienten stetig bleiben, diejenigen zu finden, welche das Integral \[ \int_{x_0}^{x_1} f(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')dx \] zu einem Extremum machen. Der betreffende Satz bietet sich von selbst dar, wenn man nach der Methode von \textit{Clebsch} die Differentialgleichungen des Problems durch vollständige Lösung ihrer \textit{Hamilton}-\textit{Jacobi}schen partiellen Differentialgleichung integriert; diese Integrationsmethode wird zunächst abgeleitet, da die bisher gegebenen Begründungen einen wesentlichen Punkt nicht deutlich genug hervortreten lassen. Dann wird der enge Zusammenhang zwischen der \textit{Hamilton}-\textit{Jacobi}schen Differentialgleichung und dem Unabhängigkeitssatze dargelegt und für letzteren schließlich folgende allgemeine Fassung gegeben: ``Hat man von den, mit der Funktion \[ \varOmega=f(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n') + \sum_{\varrho=1}^{\varrho=r} \lambda_\varrho f_\varrho (x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n') \] gebildeten \(n + r\) Differentialgleichungen \[ \frac{d}{dx}\;\frac{\partial \varOmega}{\partial y_i'} = \frac{\partial \varOmega}{\partial y_i},\quad f_\varrho=0 \quad (i=1,2,\dots,n;\;\varrho=1,2,\dots,r) \] irgend ein System vollständiger Lösungen \[ y_i=\theta_i (x,c_1,\dots,c_{2n}),\quad \lambda_\varrho=X_\varrho (x,c_1,\dots,c_{2n}) \] gefunden, so bestimme man aus den \(n\) Gleichungen \[ \theta_i(x_0,c_1,\dots,c_{2n})=y_{i0} \] \(n\) von den \(2n\) Integrationskonstanten \(c_1,\dots,c_{2n}\) durch die \(n\) übrigen. Gehen durch Einsetzung der Auflösungen die vollständigen Lösungen über in die (bei fest gegebenen \(x_0,y_{10},\dots,y_{n0}\)) partikularen Lösungen mit nur noch \(n\) willkürlichen Konstanten \[ y_i=Y_i(x,c_1,\dots,c_n),\quad \lambda_\varrho=L_\varrho(x,c_1,\dots,c_n), \] so braucht man nur mit Hülfe der \(n\) ersten dieser letzten Gleichungen diese Konstanten aus den \(n + r\) Gleichungen \[ y_i'=\frac{\partial Y_i}{\partial x},\quad \lambda_\varrho=L_\varrho \] zu eliminieren, und in den rechten Seiten der so entstehenden Gleichungen \[ (\alpha)\qquad y'=p_i,\quad \lambda_\varrho=\mu_\varrho \] solche Funktionen von \(x,y_1,\dots,y_n\) gewonnen zu haben, welche den Ausdruck \[ \overline{f} + \sum_{h=1}^{h=n} (y_h'-p_h) \frac{\partial \overline{\varOmega}}{\partial p_h} \] zu einem vollständigen Differentialquotienten machen und überdies den \(r\) Gleichungen \[ \overline{f}_\varrho=0 \] identisch genügen.'' \(\overline{\varOmega},\overline{f},\overline{f}_\varrho\) bezeichnen die Funktionen, welche aus \(\varOmega,f,f_\varrho\) durch die Substitutionen \(\alpha\) entstehen.