On Lagrange's multiplier rule in the calculus of variations (Q1505526)

Die bisher für die \textit{Lagrange}sche Multiplikatorenmethode gegebenen Beweise {|it (A. Mayer, Turksma, Kneser)} setzen sämtlich voraus, daß die Koordinaten der zu untersuchenden Kurve, welche als Funktionen eines Parameters \(t\) angenommen werden mögen, zweimal nach diesem Parameter differenzierbar seien. Diese Voraussetzung ist jedoch nicht durch die Natur des Problems bedingt. Für den einfachsten Fall der Variationsrechnung hat schon \textit{P. du Bois-Reymond} nachgewiesen, daß aus der Annahme der Existenz und der Stetigkeit der ersten Derivierten auch die Existenz der zweiten Derivierten folgt; dieser Beweis ist dann von \textit{Hilbert} vereinfacht. In der vorliegenden Abhandlung wird der gleiche Satz für das allgemeinste Problem der Variationsrechnung bei einer unabhängigen Veränderlichen nachgewiesen und damit die \textit{Lagrange}sche Multiplikatorenmethode von einer nicht nötigen Voraussetzung befreit. Gleichzeitig gelingt es dem Verf., auf Grund neuerer Ergebnisse aus der Theorie der Differentialgleichungen die von \textit{Kneser} gemachte Voraussetzung, daß alle Funktionen des Problems analytische seien, durch weitere Voraussetzungen zu ersetzen.