On the second variation in isoperimetric problems. (Q1505529)

\textit{Kneser} hat in seinem bekannten Lehrbuche und in den Math. Ann. \( 55\) (F. d. M. \( 32\), 385, 1901, JFM 32.0385.02) nachgewiesen, daß die \textit{Jacobi}sche Bedingung bei der einfachsten Klasse isoperimetrischer Aufgaben notwendig ist, und der Verf. der vorliegenden Abhandlung, daß sie auch hinreichend ist (F. d. M. \( 33\), 382, 1902, JFM 33.0382.01). Bei dem zweiten \textit{Kneser}schen Beweise blieb jedoch ein gewisser Ausnahmefall noch unerledigt, neuer jetzt hier seine Erledigung findet. Die Aufgabe, um welche es sich handelt, läßt sich folgendermaßen aussprechen. Es bezeichnen \(H_1,H_2,U\) drei im Intervall \((t_0, t_1)\) reguläre Funktinen von \(t\), und es sei in diesem Intervalle \(H_1>0\) und \(U\) nicht identisch Null; ferner sei: \[ \psi(w)=H_2w-\frac{d}{dt} \left( H_1\;\frac{dw}{dt} \right), \] und es seien \(u,v\) Lösungen der Differentialgleichungen \[ \psi(u)=0,\quad \psi(v)=U, \] welche in \(t_0\) verschwinden: \(u(t_0)=0\), \(v(t_0)=0\). Ist nun \(t_0'\), welcher Wert \(< t_1\) angenommen werde, der zu \(t_0\) konjugierte Punkt, so muß gezeigt werden, daß man stets Funktionen \(w\) von \(t\) finden kann, für welche \[ w(t_0)=0,\quad w(t_1)=0, \] \[ \int_{t_0}^{t_1} w Udt=0 \] ist und \[ J_2=\int_{t_0}^{t_1} \left(H_1 \left( \frac{dw}{dt} \right)^2 + H_2w^2 \right)dt \] einen negativen Wert annimmt. \textit{Kneser} hat diesen Nachweis geführt für den Fall, daß \(u\) und \(v\) nicht beide in \(t_0'\) verschwinden. Der Verf. der vorliegenden Abhandlung erledigt nun diesen Ausnahmefall: \(u(t_0')=0\), \(v(t_0')=0\) mit Hülfe einer Methode, welche \textit{H. A. Schwarz} in seinen Vorlesungen über Variationsrechnung für den analogen Beweis im Falle der einfachsten Aufgabe ohne Nebenbedingungen entwickelt hat. Ein Minimum über den zu \(t_0\) konjugierten Punkt hinaus kann also in keinem Falle bestehen. (Vgl. Referat über H. Hahn auf S. 400 (JFM 34.0400.01)).