Sul limite del quoziente di due funzioni. (Q1505549)

\textit{Stolz} hat darauf hingewiesen (F. d. M. \( 10\), 202, 1878, JFM 10.0202.01), daß die Regel von \textit{l'Hospital} zur Bestimmung des Grenzwertes eines Quotienten \(f(x) : g(x)\), wenn Zähler und Nenner für \(x = a\) gleichzeitig unendlich werden, wonach \[ \lim_{x=a}\;\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x=a}\;\frac{f'(x)}{g'(x)} \] ist, nicht immer zutrifft. Es kann nicht nur eintreten, daß der erste Grenzwert existiert, ohne daß der zweite existiert, sondern auch das umgekehrte. Ist z. B. \[ \begin{matrix}\l & \l\\ f(x)= & x+\sin x \cos x. \\ g(x)=e^{\sin x} (& x+\sin x \cos x), \end{matrix} \] also \[ \begin{aligned} & f'(x)=2 \cos^2x, \\ & g'(x)=\cos x e^{\sin x}(x+ \sin x \cos x + 2 \cos x), \end{aligned} \] so ist für \(x=\infty\) der zweite Grenzwert gleich Null, während der erste nicht existiert, da der Quotient zwischen \(e\) und \(1/e\) oszilliert. Eine genauere Untersuchung der Frage, welche Beziehung zwischen dem Grenzwerte des Quotienten von zwei Funktionen und dem Grenzwerte des Quotienten ihrer Ableitungen besteht, scheint, abgesehen von einem Versuche \textit{du Bois-Reymonds} (F. d. M. \(11\), 199, 1879, JFM 11.0199.01), nicht stattgefunden zu haben, so daß durch die vorliegende Abhandlung eine wirkliche Lücke ausgefüllt wird. Das Hauptergebnis des Verfassers läßt sich so aussprechen. Es seien \(f\) und \(g\) zwei Funktionen der reellen Veränderlichen \(x\), die in dem Intervall \(x=(a \dots \infty)\) eindeutig, endlich, stetig, monoton, differenzierbar sind. Die Funktion \(g(x)\) wachse beständig und werde für unendliches \(x\) selbst unendlich. Die Ableitungen von \(f\) und \(g\) seien für jedes endliche Intervall \((a \dots x)\) integrabel; ihr Quotient habe höchstens in den Punkten einer diskreten Menge die obere Grenze unendlich. Damit die Ordnung des Unendlichwerdens von \(f\) kleiner ist als die Ordnung des Unendlichwerdens von \(g\), ist notwendig und hinreichend, daß zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl \(\varepsilon\) eine Zahl \(x_\varepsilon\) gehört, so daß der Inhalt der Menge der Punkte \([x]\) des Intervalles \((x_\varepsilon \dots x)\), für die \[ \left| \frac{f'(x)}{g'(x)} \right| < \varepsilon \] ist, für unendlich großes \(x\) gegenüber der Menge der Punkte, in denen diese Ungleichheit nicht erfüllt ist, unendlichgroß wird. Zum Schluß gibt \textit{Bortolotti} eine Anwendung der gewonnenen Ergebnisse, indem er die Ordnung des Unendlichwerdens monotoner Funktionen bestimmt, die der Bedingung \[ \lim\;\frac{f(x+1)}{f(x)} = 1 \] genügen. Es zeigt sich, daß die logarithmische Ableitung dieser Funktionen für \(x=\infty\) verschwindet, so daß sie weniger stark unendlich werden, wie eine Exponentialfunktion \(e^{ax}\), wo \(a\) eine beliebige positive Konstante bedeutet. Der Verf. bezeichnet diese Funktionen als Funktionen der ersten Klasse. Funktionen der zweiten Klasse sind dann diejenigen, bei denen das Verhältnis \[ \frac{f(x+1)}{f(x)} \] eine Funktion erster Klasse ist, ohne daß \(f(x)\) selbst der ersten Klasse angehört; eine solche Funktion der zweiten Klasse wird für unendliches \(x\) weniger stark unendlich wie eine Exponentialfunktion \(e^{axx}\), wo \(a\) eine beliebige positive Konstante bedeutet. Es ist klar, wie man zu weiteren Klassen gelangt. Hierauf ausführlicher einzugehen, soll einer späteren Abhandlung vorbehalten bleiben.