Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti di una curva algebrica. (Q1505561)

Ist \(f(\xi,\eta)=0\) die kartesische Gleichung einer ebenen Kurve \(\varGamma\) vom Geschlecht \(\pi\), so ist es leicht, im vierdimensionalen Raum \(S_4\) eine analytische Darstellung der Fläche \(F\) zu finden, deren Punkte den Punktpaaren von \(\varGamma\) entsprechen. Sind nämlich \(P_1(\xi_1,\eta_1)\) und \(P_2(\xi_2,\eta_2)\) zwei beliebige Punkte von \(\varGamma\) und \(x_1,x_2,x_3,x_4\) die kartesischen Koordinaten eines Punktes von \(S_4\), so kann man z. B. entweder \[ x_1=\xi_1,\quad x_2=\eta_1,\quad x_3=\xi_2,\quad x_4=\eta_2 \] oder \[ x_1=\xi_1+\eta_1,\quad x_2=\xi_1\eta_1,\quad x_3=\xi_2+\eta_2,\quad x_4=\xi_2 \eta_2 \] setzen. Nur im ersten Falle entsprechen den Paaren \(P_1P_2\) und \(P_2P_1\) verschiedene Punkte der Fläche \(F\), und es ist eben dieser Fall, welchen der Verf. im vorliegenden Aufsatze erforscht. Durch direkte geometrische Betrachtungen findet er, daß\ das metrische Geschlecht'' \(P_g\), das ``arithmetische Geschlecht'' \(P_a\) und das ``Kurvengeschlecht'' \(p^{(1)}\) der Fläche \(F\) wie folgt ausgedrückt sind: \[ P-g=\tfrac 12\, \pi (\pi-1),\quad P_a=\tfrac 12 \,\pi(\pi-3),\quad p^{(1)}=(\pi-2)(4\pi-5). \] Da der Fall \(\pi=2\) von \textit{Humbert} schon erledigt war (vgl. F. d. M. \( 25\), 1220, 1893/4, JFM 25.1220.01), so setzt zuerst der Verf. \(\pi > 3\) voraus; danach beweist er direkt, daß\ seine Resultate auch im Falle \(\pi = 3\) bestehen. [Über dasselbe Thema vgl. eine gleichzeitige Abhandlung von \textit{M. de Franchis,} worüber in diesem Bande der F. d. M. S. 671 berichtet ist.JFM 34.0691.02] Im letzten Abschnitt seiner Arbeit beschäftigt sich der Verf., nach ganz anderen Methoden, mit den analogen Mannigfaltigkeiten, welche die Ternen, Quaternen usw. von Punkten der Kurve \(\varGamma\) darstellen, und findet, daß\ ihre geometrischen Geschlechter der Reihe nach \(\pi \choose 3\), \(\pi \choose 4\) sind. Insbesondere besitzt die Mannigfaltigkeit, deren Punkte die Gruppen von \(\pi\) Punkten von \(\varGamma\) darstellen, \(\pi \choose q\) \(q\)-fache Integrale erster Art.