Bewegungen in der Nähe einer stabilen Gleichgewichtslage. (Q1505709)

Der erste Teil der Abhandlung beschäftigt sich mit Schwingungen um eine Lage stabilen Gleichgewichtes für eine spezielle Klasse dynamischer Probleme, welche von \textit{Liouville} und \textit{Stäckel} betrachtet wurde und sich auf Quadraturen zurückführen läßt. Das System habe die lebendige Kraft \(T\) und die Kräftefunktion \(U\) von folgender Gestalt \[ T=\tfrac 12 \sum_{\alpha=1}^n\;\frac{\varPhi}{\varPhi_\alpha}\;x_\alpha'^2,\quad U=\sum_{\alpha=1}^n\;\frac{\varPhi_\alpha}{\varPhi}\;\psi_\alpha, \] wo über die Funktionen \(\varPhi_\alpha,\varPhi,\psi_\alpha(x_\alpha)=-\frac 12 \lambda_\alpha^2x_\alpha^2+\cdots\) besondere Festsetzungen getroffen sind. Es bestehen dann Potenzreihenentwickelungen: \[ T=\tfrac 12 (x_1'^2+\cdots + x_n'^2)+\cdots,\quad U=\tfrac 12(\lambda_1^2 x_1^2+\cdots +\lambda_n^2 x_n^2)+\cdots, \] so daß\ \(x_1,\dots,x_n\) Hauptkoordinaten sind und \(x_1 = \cdots =x_n = 0\) eine stabile Gleichgewichtslage ist. Aus der von \textit{Staude} für \(n = 2\) entwickelten und von \textit{Stäckel} auf beliebiges \(n\) übertragenen Theorie der bedingt periodischen Funktionen ergibt sich die Darstellung von \(x_1,\dots,x_n\) als Funktionen von \(t\) und \(2n\) Integrationskonstanten. Die so gewonnenen Reihen, deren Konvergenz aus der Art ihrer Herleitung hervorgeht, sind von derselben Form wie die im allgemeineren Falle durch formale Rechnung erhaltenen Reihen; sie sind aber insofern wesentlich einfacher, als die kleinen Divisoren fortfallen. Durch besondere Wahl der Integrationskonstanten ergeben sich die in der Nähe der stabilen Gleichgewichtslage verlaufenden periodischen Bewegungen. -- Als Beispiel dient die Bewegung eines schweren Punktes in der Nähe der tiefsten Stelle eines elliptischen Paraboloids mit lotrechter Achse. Hauptzweck des Aufsatzes ist die Behandlung des speziellen Falles im ersten Teil. Die formale Herleitung der allgemeineren Reihen im zweiten Teil dient nur zur Vergleichung.