Beiträge zur Theorie der kleinen Schwingungen. (Q1505710)

Als Fortsetzung der Abhandlung: ``Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad'' (F. d. M. \( 33\), 754, 1902, JFM 33.0754.01) liefert jetzt der Verf. die Behandlung der Systeme mit mehreren Freiheitsgraden, indem er die kleinen Schwingungen auf Grund der von der Dynamik gelieferten Differentialgleichungen exakt darstellt, ohne dieselben durch Vernachlässigung der Produkte kleiner Größen in der üblichen Weise auf lineare Differentialgleichungen zu reduzieren. Der Zweck des vorliegenden Aufsatzes ist die exakte Untersuchung der in der Nähe einer Gleichgewichtslage des Systems verlaufenden periodischen Bewegungen; auf die nicht periodischen Bewegungen, welche den zusammengesetzten Schwingungen der üblichen Näherungstheorie entsprechen, wird noch nicht eingegangen. In \(\S\) 1 wird ein System von \(n\) Freiheitsgraden betrachtet, dessen Verbindungen von der Zeit nicht abhängen, und welches eine Kräftefunktion besitzt. Unter gewissen Voraussetzungen über die lebendige Kraft und die Kräftefunktion werden die Differentialgleichungen der Bewegung in der \textit{Lagrange}schen Form aufgestellt. Die Untersuchungen über periodische Lösungen gewisser Differentialgleichungssysteme, welche die mathematische Grundlage für die Ermittelung der periodischen Schwingungen bilden. werden in den \(\S\S\) 2-4 durchgeführt. Dann werden in \(\S\) 5 die in der Nähe einer Gleichgewichtslage erfolgenden periodischen Bewegungen, welche den Hauptschwingungen der Näherungstheorie entsprechen, unter gewissen einschränkenden Bedingungen dargestellt. Im \(\S\) 6 werden die allgemeinen Resultate auf Systeme mit einem Freiheitsgrade angewandt und mit dem früheren Aufsatze in Verbindung gebracht. Als Beispiel dienen die kleinen Schwingungen rollender Zylinder. In \(\S\S\) 7 und 8 werden zwei Beispiele mit zwei Freiheitsgraden untersucht: schwerer Punkt auf einer Fläche in der Nähe einer Stelle mit wagerechter Tangentialebene, Glocke mit Klöppel.