Sur la stabilité et les petits mouvements des fluides. (Q1505797)

Die Abhandlung gehört zu der Reihe derjenigen Arbeiten, durch welche der Verf. seiner allgemeineren Auffassung der mechanischen Prinzipien Geltung verschaffen will. In der vorliegenden Schrift handelt es sich, wie auch schon in anderen Aufsätzen, um die Frage nach der Gültigkeit des \textit{Lagrange}schen Satzes: Ein mechanisches System, welches Kräften unterworfen ist, die ein Potential haben, ist sicher im stabilen Gleichgewichte bei einem Zustande, wo das Potential der Kräfte ein Minimum ist. Der von \textit{Dirichlet} gegebene Beweis dieses Satzes bezieht sich nur auf solche Systeme, die der Verf. ``klassisch'' genannt hat. Nach den neueren Untersuchungen ist die Antwort der obigen Frage abhängig von der Beantwortung der anderen: Besitzt das System eine nutzbare Energie\(?\) Bezeichnet man die nutzbare Energie mit \(E\), die lebendige Kraft mit \(\theta\), die äußere Arbeit mit \(T_e\), die Arbeit der Viskosität mit \(T_v\), so besteht die Gleichung: \[ dT_e+dT_v=d \theta + dE. \] Auf jeden Fall, in dem eine nutzbare Energie vorhanden ist, kann der \textit{Lagrange-Dirichlet}sche Satz unschwer ausgedehnt werden. Wenn die äußeren Einwirkungen ein Potential haben, so sichert das Minimum der Summe \(\varPhi=E+\varOmega\) der nutzbaren Energie \(E\) und des äußeren Potentials \(\varOmega\) die Stabilität des Gleichgewichtes des Systems. Von diesen allgemeinen Betrachtungen wird die Anwendung auf die Hydrodynamik gemacht. Die meisten Entwicklungen der Hydrodynamik sind für die von Zähigkeit freien Flüssigkeiten an die folgende Beschränkung gebunden: Es gibt eine solche Funktion \(\varLambda\), daß\ die Gleichungen der Hydrodynamik in die Gestalt gebracht werden können: \[ \frac{\partial \varLambda}{\partial x}+ g_x=0,\quad \frac{\partial \varLambda}{\partial y}+ g_y=0,\quad \frac{\partial \varLambda}{\partial z}+g_z=0, \] wo \(g_x,g_y,g_z\) die Komponenten der Beschleunigung sind. Diese Beschränkung ist nur in gewissen besonderen Fällen verwirklicht, die vom Verf. in seinen Recherches sur l'hydrodynamique \( 1\), Chap. III (1901) unterschieden und in Klassen geordnet sind. Nach einer weiteren Bemerkung von ihm sind die meisten sogenannten allgemeinen Theoreme der Hydrodynamik nur unter den Umständen hergeleitet, bei denen gleichzeitig eine nutzbare Energie und eine Funktion \(\varGamma\) vorhanden sind; diese wenig zahlreichen Fälle sind die folgenden: 1. Die Flüssigkeit ist homogen und nicht zusammendrückbar. 2. Die Flüssigkeit ist isotherm, d. h. sie ist homogen, zusammendrückbar und in allen ihren Punkten auf eine und dieselbe Temperatur gebracht, die während der ganzen Dauer der Bewegung unveränderlich bleibt. 3. Die Flüssigkeit ist entropisch, d. h. die spezifische Entropie in jedem Punkte an die Temperatur in diesem Punkte durch eine Relation gebunden, welche in der ganzen Ausdehnung der Flüssigkeit und in jedem Augenblicke dieselbe bleibt. Nur diese drei Kategorien von Flüssigkeiten werden untersucht. Außerdem wird angenommen, daß\ die verschiedenen elementaren Massen, welche sie zusammensetzen, keine Aktion aufeinander ausüben. Endlich werden die Flüssigkeiten als von aller Zähigkeit befreit gedacht. -- Die Einzelheiten der Untersuchung über die Stabilität des Gleichgewichts in den verschiedenen Fällen müssen im Original nachgelesen werden.