Sur une forme perfectionnée de la théorie de la relaxation. (Q1505814)

Die Abhandlung ist einer genaueren Entwicklung der Ideen gewidmet, die der Verf. in seiner ``Généralisation de la théorie classique de la viscosité'' in derselben Zeitschrift veröffentlicht hat (Referat oben S. 804 (JFM 34.0804.02)). Hierbei werden die Eigenschaften einer zähen Flüssigkeit gewissermaßen als in der Mitte zwischen denjenigen einer vollkommenen, reibungslosen Flüssigkeit und denjenigen eines isotropen und vollkommen elastischen Körpers stehend betrachtet. Bei der Darstellung dieser ``Relaxationstheorie'' müßte der Zustand der inneren Spannung in jedem Augenblicke durch den eines elastischen und isotropen Körpers, welcher eine passende Deformation erlitten hätte, dargestellt werden können. Dies braucht aber nicht möglich zu sein. Daher hat der Verf. eine neue, von dieser Schwierigkeit befreite Ableitung seiner Relaxationstheorie geliefert; außerdem hat er eine Beschränkung in der Annahme der Kleinheit der Ableitungen von \(u, v, w\) fallen lassen. Die Teile der Arbeit sind betitelt: I. Einleitung. II. Innere Kräfte in einer zähen Flüssigkeit. Bewegungsgleichungen. III. Anwendungen der vorangehenden Theorie auf einen besonderen Fall. Setzt man \(p_m=\frac 13(p_{xx}+p_{yy}+p_{zz})\), \(\varpi = a_1+a_2+a_3\), so lauten die fundamentalen Gleichungen: \[ \begin{aligned} \frac{dp_{xx}}{dt} & =-2 \mu a_1-\lambda \varpi+ \frac{p_{xx}-p}{T} - \frac{p_m-p}{T'} (2 q_2p_{zx}-q_3p_{xy}), \\ \frac{dp_{yy}}{dt} & =-2 \mu a_2-\lambda \varpi+ \frac{p_{yy}-p}{T} - \frac{p_m-p}{T'} (2 q_3p_{xy}-q_1p_{yz}), \\ \frac{dp_{zz}}{dt} & =-2 \mu a_3-\lambda \varpi+ \frac{p_{zz}-p}{T} - \frac{p_m-p}{T'}\;(2 q_1p_{yz}-q_2p_{zx}),\\ \frac{dp_{yz}}{dt} & =-\mu c_1-\frac{p_{yz}}{T} + q_1(p_{yy}-p_{zz})+ q_3q_{zx}-q_2p_{xy}, \\ \frac{dp_{zx}}{dt} & =-\mu c_2-\frac{p_{zx}}{T} + q_2(p_{zz}-p_{xx})+ q_1q_{xy}-q_3p_{yz}, \\ \frac{dp_{xy}}{dt} & =-\mu c_3-\frac{p_{xy}}{T} + q_3(p_{xx}-p_{yy})+ q_2q_{yz}-q_1p_{zx}.\end{aligned} \] Der Ausdruck ``Relaxation'' wird wie folgt erläutert. Wenn von einer gewissen Epoche \(t_0\) ab jede weitere Bewegung der Flüssigkeit und jede weitere Änderung der Temperaturverteilung in ihrem Innern unterdrückt würden, so würde in jedem Punkte der Flüssigkeit folgende Erscheinung vor sich gehen: Die Größen \(p_{yz}, p_{zx}, p_{xy}\) würden der Null zustreben, die Größen \(p_{xx},p_{yy},p_{zz}\) dagegen einer gemeinschaftlichen Grenze \(p\); diese ist nichts anderes als der der Dichte \(\delta\) und der Temperatur \(\tau\) im betrachteten Punkte entsprechende hydrostatische Druck der Flüssigkeit. Diese Erscheinung wird Relaxation genannt. Der Gang der Relaxation wird durch die Größen \(T\) und \(T'\) oder, was auf dasselbe hinausläuft, durch \(T\) und \(T'\) bestimmt. \(T\) charakterisiert das Gesetz, nach welchem die \(p_{yz},p_{zx},p_{xy}\) sich der Null nähern, \(T_1\) dasjenige, nach welchem \(p_m\) sich \(p\) nähert; daher kann \(T\) Relaxationszeit der Starrheit \(T_1\) des normalen Drucks heißen. Die im dritten Teile der Arbeit gemachte Anwendung nimmt Untersuchung der Aufgabe abermals in Angriff, die in der Abhandlung enthalten ist: Sur un problème d'hydrodynamique lié à un cas de double réfraction accidentelle dans les liquides et sur les considérations théoriques de \textit{M. Natanson} relatives à ce phénomène.'' (Referat vorstehend (JFM 34.0805.01)). Nach der jetzigen Untersuchung ist die Formel (27) der früheren Abhandlung \[ 2T \varphi = \text{tg} \left( \frac{A}{\mu r^2} + \frac{B}{\mu} \right) \] zu ersetzen durch die einfachere \[ 2T \varphi=\frac{A}{\mu r^2}+\frac{B}{\mu}\,. \]