Expansion, by means of \textit{Lamé}'s functions. (Q1505849)

Der Verf. vermißt in den Entwicklungen der Potentialtheorie, die das Ellipsoid betreffen, einen strikten Beweis für die Konvergenz der dabei auftretenden, nach \textit{Lamé}schen Funktionen fortschreitenden Reihen und will in der vorliegenden Arbeit diese Lücke der Theorie ausfüllen. Ihm scheint danach die Göttinger Dissertation von \textit{Jaccottet} (s. F. d. M. \( 26\), 522-525, 1895, JFM 26.0522.01) unbekannt geblieben zu sein, in der die Frage der Konvergenz noch allgemeinerer Reihen, als sie beim vollen Ellipsoid oder einer von zwei konfokalen Ellipsoiden begrenzten Schale auftreten, erledigt ist. Immerhin ist die vorliegende Arbeit von Interesse, einmal wegen der Methode, mittels deren der Konvergenzbeweis geführt wird, sodann wegen der Ausdehnung der in Rede stehenden Entwicklungen auf einen einer \textit{Riemann}schen Fläche analogen Doppelraum. Eigenartig ist auch die Einführung einer für das vorliegende Problem besonders geeigneten Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung: \[ {(1)} \quad 2u=\int_\lambda^\infty [(a^2+\theta)(b^2+\theta)(c^2+\theta)]^{-\frac 12} d \theta. \] Die aus der Umkehrung dieses Integrals entspringenden elliptischen Funktionen \(\sqrt{a^2+\lambda}=a(u)\), \(\sqrt{b^2+\lambda}=b(u)\), \(\sqrt{c^2+\lambda}=c(u)\) geben den Formeln eine größere Symmetrie, als man sie bei Benutzung der \textit{Jacobi}schen Normalform erhält. Die halben Perioden des Integrals {(1)} werden mit \(\alpha,\beta,\gamma\) bezeichnet, und zwar mit \(\gamma\) die reelle, mit \(\alpha\) die rein imaginäre halbe Periode, während \(\alpha+\beta+\gamma=0\) ist. Die ersten Paragraphen der Arbeit rekapitulieren nur Bekanntes: die Transformation der \textit{Laplace}schen Gleichung auf elliptische Koordinaten (und zwar werden diese durch die eben erwähnten elliptischen Funktionen \(a\), \(b\), \(c\) ausgedrückt), die Lösung der transformierten Gleichung durch Produkte \textit{Lamé}scher Funktionen, die wichtigsten Eigenschaften der \textit{Lamé}schen Funktionen. Insbesondere wird der von \textit{F. Klein} (Math. Ann. \( 18\), F. d. M. \( 13\), 406 ff., 1881, JFM 13.0406.01) aufgestellte Satz über Verteilung der Wurzeln von \(f(u) = 0\) (\(f\) eine \textit{Lamé}sche Funktion) auf die beiden in Betracht kommenden Intervalle abgeleitet. Neben den Grenzfällen der Rotationsellipsoide wird ferner der andere betrachtet, bei dem die Schar der konfokalen Ellipsoide in konzentrische Kugeln übergeht. An diesen Spezialfall wird, wie üblich, die Entwicklung einer gegebenen Funktion zweier Variabeln nach \textit{Lamé}schen Produkten geknüpft. Soll nämlich eine auf einer Kugel gegebene analytische Funktion \(F(v,w)\) nach \textit{Lamé}schen Produkten entwickelt werden, so entwickele man \(F(v, w)\) zunächst nach Kugelfunktionen \[ F(v,w)=\sum_{n=1}^\infty Y_n(\vartheta,\varphi); \] jede einzelne dieser Kugelfunktionen läßt sich linear durch die zu der Zahl \(n\) gehörigen \((2n + 1)\) \textit{Lamé}schen Produkte \(f(v)f(w)\) ausdrücken. Der Beweis für die Konvergenz der so erhaltenen Reihe ist eigenartig; er beruht einmal auf der zweckmäßigen Bestimmung des willkürlichen konstanten Faktors, mit dem jedes einzelne der \((2n + 1)\) \textit{Lamé}schen Produkte behaftet ist, sodann auf einem Satze über den Höchstbetrag, den die Kugelfunktion \(Y_n (\vartheta, \varphi)\) bei Entwicklung einer analytischen Funktion annehmen kann. Nach diesen Vorbereitungen läßt sich zunächst formell ein Ausdruck das Potential innerer Punkte eines Ellipsoids bilden: \[ {(2)}\qquad V=\varSigma kf(u)f(v)f(w)/f(u_0), \] wo die \(k\) so bestimmt sind, daß\ an der Oberfläche des Ellipsoids \(u = u_0\) \(V\) den Wert \(F(v, w)\) annimmt, und \(F\) eine an jener Fläche gegebene analytische Funktion der Koordinaten ist. Es ist dann zu beweisen, daß\ die Reihe {(2)} für alle inneren Punkte konvergiert, daß\ sie ferner die Eigenschaften des Potentials besitzt, und daß\ die Grenze der Summe der Reihe für \(u = u_0\) gleich der Summe der Reihe \(\varSigma k f(v)f(w)\) ist. Dazu dient der folgende Hülfssatz, der sich aus der Laméschen Differentialgleichung durch Integration und Anwendung des Mittelwertsatzes ergibt: Genügt die Funktion \(\lambda (u)\) der \textit{Lamé}schen Differentialgleichung, verschwindet ferner \(\lambda (u)\) oder \(\lambda'(u)\) für einen bestimmten Wert \(u_0\) zwischen 0 und \(2\gamma\), die Grenzen eingeschlossen, und konvergiert eine der Reihen \[ (3)\qquad \varSigma |k \lambda(u)|,\quad \varSigma| k \lambda'(u)| \] für \(u = u_1\), wo \(u_1\) ebenfalls zwischen 0 und \(2\gamma\) liegt, die Grenzen jedoch ausgeschlossen, so konvergieren die beiden Reihen (3) für eine kontinuierliche Reihe von Werten von \(u\), und zwar gehören \(u_0\) und \(u_1\) zu dieser Reihe von Werten. Durch die Anwendung dieses Hülfssatzes, Verbindung mit der Darstellung von \(V\) mittels des \textit{Green}schen Satzes, läßt sich zeigen, daß\ die Reihe {(2)} alle geforderten Eigenschaften besitzt. Um das Resultat auf den Fall auszudehnen, wo \(F(v, w)\) keine analytische Funktion der Koordinaten ist, wird die \textit{Green}sche Funktion das Innere eines Ellipsoids bestimmt. Diese verschwindet, ebenso wie ihre normale Ableitung, wenn der Aufpunkt auf die Oberfläche des Ellipsoids rückt, wenn nur der Pol ein innerer Punkt ist. Es wird nun gezeigt, daß\ diese Eigenschaft bestehen bleibt, wenn der Aufpunkt von vornherein auf der Oberfläche liegt und der Pol sich der Oberfläche beliebig nähert. Aus dieser Eigenschaft und der Darstellung des Potentials mittels der \textit{Green}schen Funktion ergibt sich die Erweiterung der früheren Resultate in folgender Form. Es sei \[ \psi(u,v,w,u_0,v_0,w_0) = \varSigma(2n+1)jf(u)f(v)f(w)f(v_1)f(w_1)f(u_0), \] wo \(j=\pm 1\), je nachdem \(f (\beta) \gtrless 0\) oder \(f(\beta) = 0\). Ist dann \(F(v, w)\) eine einwertige Funktion der Lage auf dem Ellipsoid \(u_0\), und hat das doppelt über die Ellipsoidfläche erstreckte Integral \[ \int F(v_0,w_0) \psi(u,v,w,u_0,v_0,w_0) d \omega_0 \] [\(d\omega_0\) ist \(=dS_0 \cdot \frac{du_0}{d \nu}\), falls \(dS_0\) das Oberflächenelement des Ellipsoids \(u_0\) ist, \(\nu\) seine innere Normale] einen bestimmten Wert \(\varphi (u, v, w)\) mit ersten und zweiten Ableitungen, so ist \(\varphi\) ein Potential für innere Punkte des Ellipsoids und wird gleich \(F(v, w)\) für \(u = u_0\). Nur muß\ \(F(v,w)\) in der Nähe des Punktes \((v, w)\) der Fläche \(u_0\) kontinuierlich sein. In ganz analoger Weise wie für den Innenraum eines Ellipsoids wird weiter das Potential für einen von zwei konfokalen Ellipsoiden begrenzten Raum behandelt; und zwar läßt sich die Aufgabe ebenso einfach für einen \textit{Riemann}schen Doppelraum durchführen wie für einen einfachen Raum. Zur Erläuterung wird auf die Randwertaufgabe für das logarithmische Potential einer von zwei konfokalen Ellipsen begrenzten Fläche verwiesen. Nimmt man statt der Ebene eine zweiblättrige \textit{Riemann}sche Fläche und die Brennpunkte der konfokalen Ellipsen zu Verzweigungspunkten, so kann man die Fläche betrachten, die von einer Ellipse in dem einen Blatt und von einer konfokalen Ellipse in dem andern Blatt begrenzt wird. Für diese Fläche kann man die Randwertaufgabe in ganz derselben Weise erledigen, wie für eine einblättrige Fläche; man hat nur nötig, die Parameter der Grenzellipsen in verschiedenen Intervallen zu wählen. Ebenso kann man im Raume verfahren. Sind \(u_0\) und \(u_1\) die Parameter zweier konfokalen Ellipsoide, und nimmt man \(u_0\) und \(u_1\) beide in dem Intervall \(0\dots \gamma\), so erhält man einen einfachen, von den konfokalen Ellipsoiden begrenzten Raum. Wählt man aber \(u_0\) und \(u_1\) so, daß \[ 0<u_0<\gamma<u_1<2\gamma, \] so entspricht das einem \textit{Riemann}schen Doppelraum, in dessen einem Zweige das Ellipsoid \(u_0\) liegt, das Ellipsoid \(u_1\) dagegen in dem andern. Beide Zweige hängen zusammen längs der ebenen Fläche, die von der Fokalellipse begrenzt wird. Für diesen Doppelraum läßt sich das Potential in ganz ähnlicher Weise bestimmen, wie für den einfachen Raum zwischen zwei konfokalen Ellipsoiden. Hinsichtlich der Einzelheiten der Behandlung beider Aufgaben müssen wir auf die Arbeit verweisen; auch die Besprechung der Resultate würde zu weit führen. Zum Schluß\ wird auch die zweite Randwertaufgabe der Potentialtheorie kurz behandelt, die nämlich, wo an der Grenzfläche nicht \(V\) gegeben ist, sondern \(\frac{\partial V}{\partial n}\) gegebene Werte annimmt. Auch diese zweite Randwertaufgabe wird sowohl für den Innenraum eines Ellipsoids, als für den von zwei konfokalen Ellipsoiden begrenzten einfachen oder Doppelraum durchgeführt.