Rappresentazione di und forma qualunque per combinazione lineare di più altre. (Q1506788)

Eine Reihe von Geometern hat sich mit den notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür beschäftigt, daß\ eine ternäre Form als lineare Kombination zweier gegebenen Formen dieser Art darstellbar ist. Der Verf. formuliert das Problem ganz allgemein. ``Seien \(h(\leqq r)\) Formen \(F_1, F_2, \dots, F_h\) der \(r+1\) Variabeln \(x_0x_1, \dots, x_r\) gegeben, und es werde nur vorausgesetzt, daß\ die Gleichungen \[ F_1=0, \dots, F_h=0,\;\left| \frac{\partial F_i}{\partial x_k} \right|=0 \] wenigstens \(\infty^{r-h}\) gemeinsame Lösungen zulassen; man soll die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür finden, daß\ eine Form \(F\) der \(x\) als lineare Kombination der \(F_1, F_2, \dots, F_h\) darstellbar ist: \[ (1) \quad F\equiv A_1F_1+A_2F_2+\dotsm+A_hF_h, \] wo die \(A_i\) ebenfalls Formen der \(x\) bedeuten.'' Operiert man statt mit den Formen selbst mit den Gleichungen \(F_1=0, \dots, F_h=0\), \(F=0\), was nur eine unwesentliche Modifikation ist, so kann man eine geometrische Deutung in einem Linearraume \(S_r\) hinzufügen, wonach die Gleichungen \(F_1=0, \dots, F_h=0\) gewisse ``Flächen'' darstellen, die einen ``Durchschnitt'' \(M\) besitzen. Der Verf. stützt sich behufs Lösung seiner Aufgabe auf die grundlegenden Untersuchungen von \textit{Hilbert} über Moduln (F. d. M. 22, 133, 1890, JFM 22.0133.01). Ein System von Formen bildet einen Modul, wenn jede lineare Kombination von Formen des Systems wiederum eine Form des Systems erzeugt. Dann gibt es unter den Formen des Moduls eine endliche Anzahl \(F_1, \dots, F_h\), so daß\ jede Form \(F\) des Moduls in der Gestalt \(F\equiv A_1F_1+\dotsm+A_hF_h\) darstellbar ist. Die \(F_1, \dots, F_h\) heißen die Fundamentalelemente des Moduls \((F_1, \dots, F_h)\). Die Anzahl \(\chi(l)\) der unabhängigen Bedingungen dafür, daß\ eine Form von der Ordnung \(l\) (bez. ihrer Koeffizienten) einem gegebenen Modul angehört, ist bei genügend größem \(l\) bestimmt durch \[ \chi(l)=\chi_0+\chi_1{l \choose 1}+ \chi_2{l \choose 2}+ \dotsm+ \chi_d{l \choose d}, \] wo die \(\chi_i\) von \(l\) unabhängige Zahlen sind; \(\chi(l)\) heißt die charakteristische Funktion des Moduls. Dann wird die im Eingange aufgeworfene Frage beantwortet durch den Satz: ``Wenn die Flächen \(F_1, \dots, F_h\) einen von Singularitäten (vielfachen Elementen) freien Durchschnitt besitzen, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ \(F\equiv A_1F_1+\dotsm+A_hF_h\), die, daß\ die Fläche \(F\) durch den Durchschnitt \((F_1, F_2, \dots, F_h)\) hindurchgeht''. Freilich beginnen die eigentlichen Schwierigkeiten erst beim Auftreten vielfacher Schnittelelemente.