Über Gruppen des Grades \(p\) oder \(p+1\). (Q1506815)

Ist \(p\) eine Primzahl, so gibt es bekanntlich eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(p+1\) und der Ordnung \(\frac 12 \,p(p^2-1)\); sie ist für \(p>3\) einfach und wird durch die Substitutionen der Gruppe \(G_1: \xi'=\frac{\alpha\xi+\beta}{\gamma\xi+\delta}\), \(\alpha\delta-\beta\gamma=+1\), wobei \(\alpha,\beta,\gamma, \delta\) ganze Zahlen mod.\(p\) bedeuten, bestimmt. Verf. beweist zunächst den Fundamentalsatz, daß\ für jede Primzahl \(p\) nur eine einzige transitive Permutationsgruppe des Grades \(p+1\) und der Ordnung \(\frac 12\,p(p^2-1)\) existiert. Eine Ausnahme bildet nur \(p=7\). Für \(p=7\) gibt es außer der erwähnten einfachen Gruppe noch eine auflösbare Permutationsgruppe des Grades 8 von der Ordnung 168. Aus dem soeben mitgeteilten Satze folgt: ``Ist \(p\) eine Primzahl \(>3\), so gibt es eine und nur eine einfache Gruppe der Ordnung \(\frac 12 \,p(p^2-1)\). Ist \(p\) eine Primzahl, so gibt es nicht mehr als eine transitive Gruppe des Grades \(p+1\) und der Ordnung \(p(p^2-1)\).'' Von \textit{Mathieu} stammen die Resultate: Ist der Grad einer transitiven Permutationsgruppe \(\mathfrak H\) eine Primzahl \(p\), so ist ihre Ordnung \[ h=pq(np+1), \] wobei \(q\) ein Teil von \(p-1\) ist und \(np+1\) die Anzahl der verschiedenen in \(\mathfrak H\) enthaltenen Gruppen der Ordnung \(p\) bedeutet. Ist \(n=0\), so ist \(\mathfrak H\) eine metacyklische Gruppe. Nach einem Satze von \textit{W. Burnside} (Lond. M. S. Proc. 33, 174, 1901) kann jede transitive Permutationsgruppe vom Primzahlgrade, die nicht metacyklisch ist, nicht einfach transitiv sein; hieraus folgt, daß\, wenn \(n>0\) ist, \(h\) durch \(p(p-1)\) ohne Rest teilbar ist. Setzt man \(p(p-1)=pqr\), so ist mithin für \(n>0\) die Zahl \(np+1\) durch \(r\) teilbar, folglich wird \(n\equiv -1 (\text{mod.\,}r)\). Verf. benutzt diese Resultate, um die transitiven Permutationsgruppen \(\mathfrak H\) vom Primzahlgrade \(p\), die \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p\) besitzen, zu untersuchen. Für sie ist nach \textit{Mathieu} \(n=1\) und infolge der Kongruenz \(n\equiv -1\) (mod. \(r\)) muß\(r=1\) oder 2 sein, so daß\ die fraglichen Gruppen \(\mathfrak H\) die Ordnung \(p(p^2-1)\) oder \(\frac 12\,p(p^2-1)\) haben. Im ersten Fall ist \(\mathfrak H\) eine zusammengesetzte Gruppe, die eine einfache Untergruppe der Ordnung \(\frac 12 \,p(p^2-1)\) besitzt. Mit Hülfe der Resultate, die Verf. über die Permutationsgruppen der Ordnung \(\frac 12\, p(p^2-1)\) in \(p+1\) Symbolen erhalten hat, -- die Eigenschaften der Gruppe \(\mathfrak H\) lassen sich nämlich leichter erkennen, wenn man sie durch die Permutation von \(p+1\), nicht von \(p\) Symbolen darstellt -- und des \textit{Galois}schen Satzes, der auch bewiesen wird, daß\ die Gruppe \(G_1\) der Ordnung \(\frac 12\,p(p^2-1)\) im Anfange des Referats sich nur für \(p=5, 7\) oder 11 als Permutationsgruppe des Grades \(p\) darstellen läßt, gewinnt \textit{Frobenius} den grundlegenden Satz: ``Es gibt nur vier transitive Permutationsgruppen, deren Grad eine Primzahl \(p\) ist, und die \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p\) enthalten die alternierende und die symmetrische Gruppe des Grades 5, deren Ordnungen gleich 60 und 120 sind, und die beiden einfachen Gruppen der Grade 7 und 11, deren Ordnungen gleich 168 und 660 sind.'' Dieses Theorem ist, wie Verf. bemerkt, auch schon von Sylow, dem damals noch nicht der \textit{W. Burnside}sche Satz zur Verführung stand, in den Videnskabsselskabets Skrifter I. Math.-naturw. Klasse 1897, No. 9, (F. d. M. 28, 121, 1897, JFM 28.0121.01) unter der Voraussetzung \(q=\frac{p-1}{2}\) oder \(=p-1\) bewiesen. Von den weiteren Ergebnissen der inhaltreichen Arbeit sei der folgende abstrakt gruppentheoretische Satz angegeben: ``Ist \(p\) eine Primzahl der Form \(4k+1\), und ist \(q\) nicht durch \(p\) teilbar, so kann eine Gruppe der Ordnung \(pq(p+1)\) nur dann \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p\) enthalten, wenn \(q\) durch \(\frac{p-1}{2}\) teilbar ist''. Der Schlußder Arbeit beschäftigt sich mit transitiven Permutationsgruppen der Ordnung \(pq(p+1)\) und des Grades \(p+1\), die \(p+1\) Untergruppen der Ordnung \(p\) enthalten, wenn \(p=4k+3\) ist. Der Fall \(p=4k+3\) erweist sich in der Arbeit stets schwieriger als \(p=4k+1\). Ref. möchte nicht unterlassen, auch auf die interessanten literarischen Bemerkungen des Verf. über transitive Permutationsgruppen hinzuweisen.