Über primitive Gruppen des Grades \(n\) und der Klasse \(n-1\). (Q1506816)

In einer früheren Arbeit (Berl. Ber. 1901, 1226; F. d. M. 32, 138, 1901, JFM 32.0137.01) hat sich Verf. mit den transitiven Permutationsgruppen beschäftigt, welche außer der identischen Permutation keine Permutation besitzen, die zwei Symbole ungeändert läßt. Im dem vorliegenden Aufsatz wird die Ermittlung der intransitiven Gruppen, die der gleichen Bedingung genügen, auf die der transitiven zurückgeführt. ``Enthält eine Gruppe \(\mathfrak H\) des Grades \(n\) keine Substitution, die zwei Symbole ungeändert läßt, außer der identischen, so bilden die \(n-1\) Substitutionen, die alle Symbole versetzen, zusammen mit der identischen Substitution eine charakteristische Untergruppe der Ordnung \(n\). Ist \(gn\) die Ordnung der Gruppe \(\mathfrak H\), so enthält sie \(n\) konjugierte Gruppen \(G\) der Ordnung \(g\). Eine solche Gruppe \(G\) enthält alle Substitutionen von \(\mathfrak H\), die von \(n\) konjugierten Symbolen ein bestimmtes ungeändert lassen. Jedes der übrigen Symbole ist mit \(gn\) anderen Symbolen konjugiert und wird durch jede von der identischen Substitution verschiedene Substitution von \(\mathfrak H\) versetzt. Die transitiven Komponenten von \(\mathfrak H\) sind, wenn \(n>1\) ist, alle mit \(\mathfrak H\) einfach isomorph, haben also die Ordnung \(gn\). Eine von ihnen ist von dem Grade \(n\) und der Klasse \(n-1\). Jede der anderen aber ist eine reguläre Gruppe des Grades \(gn\).'' Das wichtigste Ergebnis der Arbeit ist der Fundamentalsatz: ``Eine transitive Gruppe \(\mathfrak H\) des Grades \(n\) und der Klasse \(n-1\) kann nur dann primitiv sein, wenn \(n\) eine Potenz einer Primzahl und die in \(\mathfrak H\) enthaltene Untergruppe \(\mathfrak R\) der Ordnung \(n\) eine elementare ist. Unter dieser Bedingung ist \(\mathfrak H\) stets dann und nur dann primitiv, wenn \(\mathfrak R\) eine minimale invariante Untergruppe von \(\mathfrak H\) ist.'' Die in dem obigen Theorem verwandte Bezeichnung elementar bedeutet, die Gruppe hat keine charakteristische Untergruppe. Anders ausgedrückt: Eine elementare Gruppe ist das direkte Produkt von mehreren holoedrisch isomorphen einfachen Gruppen. (\textit{Frobenius,} Berl. Ber. 1902, 358.) Durch die über Permutationsgruppen gewonnenen Resultate wird noch folgender Satz der abstrakten Gruppentheorie erhalten: ``Ist \(p\) eine Primzahl, \(n\) nicht durch \(p\), aber durch mehrere verschiedene Primzahlen teilbar, und ist kein Divisor von \(n\) außer 1 und \(n\) kongruent 1 (mod.\,\(p\)), so enthält eine Gruppe der Ordnung \(p^\lambda\cdot n\) stets eine invariante Untergruppe der Ordnung \(p^\lambda\).''