On the representation of a group of finite order as a permutation group, and on the composition of permutation groups. (Q1506820)

Hat man eine abstrakte Gruppe \(G\) endlicher Ordnung, so bezeichnet Verf. die Permutationsgruppen, mit denen \(G\) holoedrisch oder meroedrisch isomorph ist, als Darstellungen von \(G\) als Permutationsgruppe. Unter einer Permutationsgruppe ist hierbei jene besondere Gattung endlicher linearer homogener Substitutionsgruppen verstanden, bei denen jede Operation nur in einer Permutation der Variablen besteht. Ist \(G\) auf zwei Weisen als Permutationsgruppe in der gleichen Variablenzahl dargestellt, so heißen die zwei Darstellungen äquivalent, wenn man sie durch eine lineare homogene Substitution von nicht verschwindender Determinante in einander transformieren kann. Der Aufsatz ist der Frage gewidmet, wann sind zwei Darstellungen von \(G\) als Permutationsgruppe äquivalent, erstens, wenn die überführende Substitution darauf beschränkt ist, eine bloße Permutation zu sein, zweitens, wenn als überführende Substitution eine beliebige lineare homogene Substitution zugelassen wird? Zur Lösung betrachtet Verf. nach \textit{W. von Dyck} die sämtlichen verschiedenen transitiven Darstellungen \(G_1, G_2, \dots, G_{\mu}\) der Gruppe \(G\) als Permutationgruppe; ihre Anzahl ist gleich der Zahl nicht konjugierter Untergruppen von \(G\), wobei die Identität und \(G\) selbst auch als Untergruppen zu zählen sind. Diese \(\mu\) Darstellungen \[ G_1, G_2, \dots, G_{\mu} \] sind in dem Sinne verschieden, daß\ sie durch keine Permutation in einander transformierbar sind. Ist \(G\) zu einer intransitiven Gruppe \(\varGamma\) holoedrisch oder meroedrisch isomorph, so ist \(\varGamma\) stets von der Form \[ \sum_{i=1}^{i=\mu} a_iG_i, \] wobei \(a_i\) die Anzahl transitiver Konstituenten von \(\varGamma\), die \(G_i\) äquivalent sind, angibt; \(a_i\) ist daher Null oder eine ganze positive Zahl. Jede Permutationsgruppe \(\sum_{i=1}^{i=\mu}\;a_iG_i\) ist, wenn bloße Permutationen zur Transformation zugelassen werden, nur sich selbst äquivalent. Zwei Permutationsgruppen, die nicht durch eine Permutation in einander überführbar sind, können sehr wohl in dem weiteren Sinne äquivalent sein. Zu jeder nicht cyklischen Gruppe \(G\) gibt es stets Darstellungen als Permutationsgruppen, wie Verf. mit Hülfe eines \textit{Frobenius}schen Satzes (Berl. Ber. 1897, 1000-1005) zeigt, die durch eine lineare homogene Substitution in einander überführbar sind, aber den Charakter der Äquivalenz verlieren, wenn von der überführenden Substitution gefordert wird, sie soll eine Permutation sein. Für die Untersuchung verwendet \textit{Burnside} den Begriff Marke (mark) einer Untergruppe einer Permutationsgruppe \(\mathfrak P\). Er versteht hierunter die Anzahl derjenigen Symbole, auf die sich \(\mathfrak P\) bezieht, und die bei allen Operationen der betreffenden Untergruppe ungeändert bleiben. Betrachtet man die \(\mu^2\) Marken, welche den \(\mu\) Untergruppen, die den \(\mu\) nicht konjugirten Untergruppen von \(G\) entsprechen, in den Permutationsgruppen \(G_1, G_2, \dots, G_{\mu}\) zugeordnet sind, so erhält man ein System von \(\mu^2\) Zahlen, die als Marken entweder Null oder positiv ganzzahling sind. Bei der Darstellung von \(G\) als Permutationsgruppe spielen diese Zahlen eine analoge Rolle wie \textit{Frobenius'} Gruppencharaktere bei der Darstellung einer abstrakten Gruppe durch irreduzible Gruppen linearer homogener Substitutionen. Ähnlich wie die Gruppencharaktere treten diese Zahlen bei der durch Produkttransformation aus zwei Permutationsgruppen entspringenden Gruppe auf, die wieder eine Permutationsgruppe ist. (Vgl. zu dem letzteren Punkte das Referat über \textit{Frobenius,} Komposition der Charaktere einer Gruppe, F. d. M. 30, 130, 1899, JFM 30.0130.01).