On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. (Q1506821)

Es ist eine noch unerledigte Frage, ob es Gruppen unendlicher Ordnung gibt, bei denen sämtliche Operationen endliche Ordnung haben. Verf. behandelt den folgenden Fall: Es sei \(A_1, A_2, \dots, A_m\) eine endliche Anzahl unabhängiger Operationen, die das durch \(S^n=1\) gegebene System von Relationen erfüllen; \(n\) sei eine gegebene endliche Zahl, und \(S\) bedeute jede Operation, welche durch die gegebenen \(m\) Operationen \(A\) erzeugt wird. Ist die so gegebene Gruppe endlich und welches ist ihre Ordnung? Für \(n=2\) und beliebiges ganzzahliges \(m\) wird die Ordnung der Gruppe gleich \(2^m\), für \(n=3\) und beliebiges ganzzahliges \(m\) wird die Ordnung \(3^{2^m-1}\), für \(n=4\) und \(m=2\) wird die Ordnung \(2^{12}\). In dem weiter untersuchten Fall \(n\) gleich einer beliebigen Primzahl \(p\), die größer als 3 ist, und \(m=2\) gelangt \textit{Burnside} zu keinem definitiven Resultat, sondern findet nur, daß\, wenn die Gruppe endlich ist, ihre Ordnung nicht kleiner als \(p^{2p-3}\) sein kann.