On metabelian groups. (Q1506840)

Eine Gruppe heißt nach dem Verf. \textit{metabelsch,} wenn die Gruppe ihrer kogredienten Isomorphismen Abelsch ist. Die metabelschen Gruppen gehören als spezielle Fälle zu denjenigen Gruppen, die das direkte Produkt von Gruppen von Primzahlpotenzordnung sind. (Vgl. F. d. M. 32, 148, 1901, JFM 32.0148.02). Damit eine Gruppe metabelsch ist, ist notwendig und hinreichend, daß\ ihre Kommutatoren ausgezeichnete Elemente sind. Für die Ordnungszahlen der Kommutatoren einer metabelschen Gruppe gilt der Satz: Die Ordnung jedes Elements der kogredienten Isomorphismengruppe einer metabelschen Gruppe \(G\) ist Ordnungszahl eines Kommutators von \(G\). Das Studium der metabelschen Gruppen führt auf die Frage nach jenen besonderen Abelschen Gruppen, die überhaupt kogrediente Isomorphismengruppen einer Gruppe sein können. Eine cyklische Gruppe kann dies z. B. nicht sein (\textit{G. A. Miller}). Verf. beweist u. a.: ``Die kogrediente Isomorphismengruppe einer Gruppe kann nicht das direkte Produkt cyklischer Gruppen sein, deren Ordnungszahlen so beschaffen sind, daß\ irgend eine von ihnen nicht wenigstens eine der anderen Ordnungszahlen ohne Rest teilt.'' Verf. weist nach, daß\ metabelsche Gruppen existieren, bei denen das Produkt zweier Kommutatoren kein Kommutator ist. Ferner bestimmt er die Anzahl metabelscher Gruppen von Primzahlpotenzordnung, deren ausgezeichnete Elemente eine cyklische Gruppe bilden. Die Anzahl dieser Gruppen hängt nur von den unter einander verschiedenen Ordnungszahlen der unabhängigen erzeugenden Elemente der zugehörigen kogredienden Elemente ab. ``Die Anzahl metabelscher Gruppen, deren ausgezeichnete Elemente eine cyklische Gruppe der Ordnung \(p^{\alpha}\) bilden, wobei \(p\) eine Primzahl ist, und deren kogrediente Isomorphismengruppe von der Ordnung \(p^{2(\alpha_1s_1+\alpha_2s_2+\dotsm+\alpha_ns_n)}\) des Typus \[ (1) \quad (\alpha_1, \alpha_1, \dots; \alpha_2, \alpha_2, \dots; \dots; \alpha_n, \alpha_n, \dots) \] ist,beträgt \((\alpha_1+1)(\alpha_2-\alpha_1+1)\dots(\alpha_n-\alpha_{n-1}+1)\). In (1) seien die Zahlen \(\alpha_i\) \((i=1, 2,\dots, n)\), von denen jede eine gerade Anzahl mal, \(2s_i\), auftritt, so geordnet, daß\ \(\alpha_1<\alpha_2<\alpha_3< \dotsm <\alpha_n \leqq \alpha\).'' Der Schlußdes Aufsatzes zeigt, daß\ ebenso wie nicht jede Abelsche, auch nicht jede metabelsche Gruppe kogrediente Isomorphismengruppe einer Gruppe sein kann.